每日一题[1962]进阶放缩

已知函数 $f(x)=(x-1){\rm e}^{x}-\dfrac{a}{2}{\rm e}^{2 x}+a x$ 只有一个极值点,则实数 $a$ 的取值范围是(       )

A.$(-\infty,0]\cup\left[\dfrac 12,+\infty\right)$

B.$(-\infty,0]\cup\left[\dfrac 13,+\infty\right)$

C.$(-\infty,0]$

D.$\left(-\infty,-\dfrac 13\right]\cup\left[0,+\infty\right)$

答案    A.

解析    函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=x{\rm e}^x-a\left({\rm e}^{2x}-1\right),\]于是当 $a\leqslant 0$ 时,$x=0$ 为 $f'(x)$ 的唯一变号零点,符合题意.接下来考虑 $a>0$ 的情形.令 ${\rm e}^x=t$,问题即研究关于 $t$ 的方程\[\ln t -a\left(t-\dfrac 1t\right)=0\]的变号零点问题.这是我们熟知的进阶放缩,当 $a\in\left(0,\dfrac 12\right)$ 时,该方程有三个变号零点(其中一个为 $t=1$,另外两个互为倒数);当 $a\in\left[\dfrac 12,+\infty\right)$ 时,该方程有唯一变号零点 $t=1$.

综上所述,所求实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,0]\cup\left[\dfrac 12,+\infty\right)$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论