设 $0\leqslant x,y\leqslant1$，证明：$\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}\leqslant\dfrac{2}{\sqrt{1+xy}}$．
直线 $ 2x-y-12=0 $ 与抛物线 $ y^2=4x $ 交于 $A,B$ 两点，点 $C$ 在抛物线上但不同于点 $A,B$，且 $\angle ACB=90^{\circ}$，求点 $C$ 的坐标．
若对一切 $\theta\in\mathbb R$，复数 $z=(a+\cos\theta)+(2a-\sin\theta){\rm i}$ 的模不超过 $2$，则实数 $a$ 的取值范围是_______．
设 $\alpha,\beta,\gamma$ 满足 $0<\alpha<\beta<\gamma<2\pi$，若对于任意 $x\in\mathbb R$，$\cos (x+\alpha)+\cos(x+\beta)+\cos(x+\gamma)=0$，则 $\gamma -\alpha=$_______．
确定所有的复数 $\alpha$，使得对满足 $|z_1|,|z_2|<1$，$z_1\neq z_2$ 的任意复数 $z_1,z_2$），均有\[(z_1+\alpha)^2+\alpha \overline {z_1}\neq (z_2+\alpha)^2+\alpha \overline {z_2}.\]
设非负实数 $x,y$ 满足 $3x+y=1$．则 $x+\sqrt{x^2+y^2}$ 的最小值为_______．
已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=2t-3$（$t\in \mathbb R$ 且 $t\ne \pm 1$），且对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$，有\[a_{n+1}=\dfrac{(2t^{n+1}-3)a_n+2(t-1)t^n-1}{a_n+2t^n-1}.\]
1、求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．
2、若 $t>0$，试比较 $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 的大小．
数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_0=1$，$a_{n+1}=\dfrac{7a_n+\sqrt{45a_n^2-36}}{2}$（$n\in\mathbb N$）．
1、求证：对任意 $n\in\mathbb N$，$a_n$ 为正整数．
2、求证：对任意 $n\in\mathbb N$，$a_na_{n+1}-1$ 为完全平方数．
