每日一题[1754]数形结合

若对一切 $\theta\in\mathbb R$,复数 $z=(a+\cos\theta)+(2a-\sin\theta){\rm i}$ 的模不超过 $2$,则实数 $a$ 的取值范围是_______.

答案    $\left[-\dfrac{\sqrt 5}5,\dfrac{\sqrt 5}5\right]$.

解析    由于 $z=(a+2a{\rm i})-(\cos(\pi-\theta)+\sin(\pi-\theta){\rm i})$,根据题意,直线 $y=2x$ 上的点 $A(a,2a)$ 到单位圆上的任意一点的距离不超过 $2$,等价于点 $A$ 在单位圆内(包含边界),因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac{\sqrt 5}5,\dfrac{\sqrt 5}5\right]$.

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