每日一题[1752]复数的模

确定所有的复数 $\alpha$,使得对满足 $|z_1|,|z_2|<1$,$z_1\neq z_2$ 的任意复数 $z_1,z_2$),均有\[(z_1+\alpha)^2+\alpha \overline {z_1}\neq (z_2+\alpha)^2+\alpha \overline {z_2}.\]

答案    $\{\alpha\mid \alpha \in \mathbb C,|\alpha| \geqslant 2\}$.

解析    记 $f_{\alpha}(z)=(z+\alpha)^2+\alpha \overline {z}$,则\[f_{\alpha}(z_1)-f_{\alpha}(z_2)= (z_1+z_2+2\alpha)(z_1-z_2)+\alpha(\overline {z_1}-\overline {z_2}).\]假如存在满足 $|z_1|,|z_2|<1$,$z_1\neq z_2$ 的复数 $z_1,z_2$,使得 $f_{\alpha}(z_1)=f_{\alpha}(z_2)$,则\[|\alpha(\overline {z_1}-\overline {z_2})|=|-(z_1+z_2+2\alpha)(z_1-z_2)|,\]利用 $|\overline {z_1}-\overline {z_2}|=| z_1 - z_2 | \neq 0$ 得\[|\alpha|=|z_1+z_2+2\alpha| \geqslant 2|\alpha|-|z_1|-|z_2|>2|\alpha|-2\iff |\alpha|<2.\] 另一方面,对任意满足 $|\alpha|<2$ 的复数 $\alpha$,令 $z_1=-\dfrac {\alpha}{2}+\beta \mathrm i $,$z_2=-\dfrac {\alpha}{2}-\beta \mathrm i$,其中 $0<\beta<1-\dfrac {|\alpha|}{2}$,则 $z_1 \neq z_2$,而\[\left| -\dfrac {\alpha}{2}\pm \beta \mathrm i \right| \leqslant \left| -\dfrac {\alpha}{2} \right|+| \beta |<1 ,\]故 $|z_1|,|z_2|<1$.此时将\[\begin{cases} z_1+z_2=-\alpha, \\ z_1-z_2=2\beta \mathrm i,\\ \overline {z_1}-\overline {z_2}=-2\beta \mathrm i,\end{cases}\]代入可得\[f_{\alpha}(z_1)-f_{\alpha}(z_2)=\alpha \cdot 2\beta \mathrm i +\alpha \cdot (-2\beta \mathrm i)=0\iff f_{\alpha}(z_1)=f_{\alpha}(z_2).\] 综上所述,所有的复数 $\alpha$ 为 $\{\alpha\mid \alpha \in \mathbb C,|\alpha| \geqslant 2\}$.

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