每日一题[1750]对勾换元

已知函数 $ y=3x+\sqrt{x^2-2x} $,求该函数的值域.

答案    $ \left(-\infty,3-2\sqrt{2}\right]\cup\left[6,+\infty\right) $.

解析    根据题意,有\[y=3(x-1)+\sqrt{(x-1)^2-1}+3,\]令 $x-1=\dfrac 12\left(t+\dfrac 1t\right)$,其中 $t\in [-1,1]\setminus \{0\}$,则\[y=\begin{cases} t+\dfrac 2t+3,&0<t\leqslant 1,\\ -2t+\dfrac 1t+3,&-1\leqslant t<0,\end{cases}\]因此该函数的值域为 $ \left(-\infty,3-2\sqrt{2}\right]\cup\left[6,+\infty\right) $.

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