已知函数 $ y=3x+\sqrt{x^2-2x} $，求该函数的值域．
答案 $ \left(-\infty,3-2\sqrt{2}\right]\cup\left[6,+\infty\right) $．
解析 根据题意，有\[y=3(x-1)+\sqrt{(x-1)^2-1}+3,\]令 $x-1=\dfrac 12\left(t+\dfrac 1t\right)$，其中 $t\in [-1,1]\setminus \{0\}$，则\[y=\begin{cases} t+\dfrac 2t+3,&0<t\leqslant 1,\\ -2t+\dfrac 1t+3,&-1\leqslant t<0,\end{cases}\]因此该函数的值域为 $ \left(-\infty,3-2\sqrt{2}\right]\cup\left[6,+\infty\right) $．