每日一题[1755]四点共圆

直线 $ 2x-y-12=0 $ 与抛物线 $ y^2=4x $ 交于 $A,B$ 两点,点 $C$ 在抛物线上但不同于点 $A,B$,且 $\angle ACB=90^{\circ}$,求点 $C$ 的坐标.

答案    $(1,2)$ 或 $(4,-4)$.

解析    联立直线 $AB$ 与抛物线 $y^2=4x$ 的方程,可得 $AB$ 的中点为 $M\left(\dfrac{13}2,1\right)$.根据题意,$C$ 点是以 $AB$ 为直径的圆与抛物线的公共点,设为 $P(4a^2,4a)$,$Q(4b^2,4b)$,$PQ$ 的中点 $N(2a^2+2b^2,2a+2b)$,于是根据抛物线上四点共圆的结论,有 $PQ$ 的斜率与 $AB$ 的斜率互为相反数,结合 $MN\perp PQ$,可得\[\begin{cases} a+b=-\dfrac12,\\ \dfrac{1}{a+b}\cdot \dfrac{2a+2b-1}{2a^2+2b^2-\dfrac{13}2}=-1,\end{cases}\iff \begin{cases} a=-1,\\ b=\dfrac 12,\end{cases}\lor \begin{cases} a=\dfrac 12,\\ b=-1,\end{cases}\]对应的 $C$ 点坐标为 $(1,2)$ 或 $(4,-4)$.

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