每日一题[1748]递推公式

数列 $\{a_n\}$ 满足:$a_0=1$,$a_{n+1}=\dfrac{7a_n+\sqrt{45a_n^2-36}}{2}$($n\in\mathbb N$).

1、求证:对任意 $n\in\mathbb N$,$a_n$ 为正整数.

2、求证:对任意 $n\in\mathbb N$,$a_na_{n+1}-1$ 为完全平方数.

解析

1、根据题意,有\[a_{n+1}^2-7a_na_{n+1}+a_n^2+9=0,\]差分可得\[(a_{n+2}^2-a_n^2)-7a_{n+1}(a_{n+2}-a_n)=0,\]于是\[a_{n+2}+a_n-7a_{n+1}=0,\]又 $a_0=1$,$a_1=5$,因此对任意 $n\in\mathbb N$,$a_n$ 为正整数.

2、根据第 $(1)$ 小题的结果,有\[a_na_{n+1}-1=\left(\dfrac{a_{n+1}+a_n}3\right)^2,\]又\[a_{n+1}+a_n=(7a_n-a_{n-1})+a_n\equiv -(a_n+a_{n-1})\pmod 3,\]又 $a_0+a_1\equiv 0\pmod 3$,于是 $\dfrac{a_{n+1}+a_n}3$ 为正整数,原命题得证.

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