每日一题[1757]根式和分式

设 $0\leqslant x,y\leqslant1$,证明:$\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}\leqslant\dfrac{2}{\sqrt{1+xy}}$.

解析    题中不等式即\[\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{2}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}\leqslant\dfrac{4}{1+xy},\]根据均值不等式,有\[\dfrac{2}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}\leqslant\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2},\]因此只需要证明\[\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\leqslant\dfrac{2}{1+xy},\]即\[2(1+x^2)(1+y^2)-(1+xy)(2+x^2+y^2\geqslant 0,\]也即\[(1-xy)(x-y)^2\geqslant 0,\]因此原不等式得证.

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