每日一题[1753]构造图形

设 $\alpha,\beta,\gamma$ 满足 $0<\alpha<\beta<\gamma<2\pi$,若对于任意 $x\in\mathbb R$,$\cos (x+\alpha)+\cos(x+\beta)+\cos(x+\gamma)=0$,则 $\gamma -\alpha=$_______.

答案    $\dfrac{4\pi}3$.

解析    取 $x=0,\dfrac{\pi}2$,可得\[\begin{cases} \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=0,\\ \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma =0,\end{cases}\]设 $A(\alpha:1)$,$B(\beta:1)$,$C(\gamma:1)$,则 $\triangle ABC$ 的外接圆圆心和重心重合,因此 $\triangle ABC$ 为正三角形,进而 $\gamma-\alpha=\dfrac{4\pi}3$.

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