将 $5$ 个 $1$，$5$ 个 $2$，$5$ 个 $3$，$5$ 个 $4$，$5$ 个 $5$ 共 $25$ 个数填入一个 $5$ 行 $5$ 列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过 $2$．考虑每列中各数之和，设这 $5$ 个和的最小值为 $M$，则 $M$ 的最大值为 _______．
在四边形 $ABCD$ 中，$BC\parallel AD$，$CA$ 平分 $\angle BCD$，$O$ 为对角线的交点，$CD=AO$，$BC=OD$，则 $\angle ABC=$ _______．
已知锐角三角形 $ABC$ 的外接圆为 $\omega$，垂心为 $H$，设 $\triangle HBC$ 的外接圆在 $H$ 处的切线交圆 $\omega$ 于点 $X,Y$，且 $HA=3$，$HX=2$，$HY=6$．若 $\triangle ABC$ 的面积的最简形式为 $m\sqrt n$（$m,n$ 均为正整数，且 $n$ 不能被任何素数的平方整除），则 $m+n=$_______．
设 $P(x)$ 是复系数二次多项式，且 $x^2$ 的系数为 $1$，设方程 $P(P(x))=0$ 有 $4$ 个不同的解 $x=3,4,a,b$，则所有 $(a+b)^2$ 的可能值之和为_______．
已知 $\triangle ABC$ 中 $\angle BAC$ 的平分线交 $BC$ 于 $D$，线段 $AD$ 的垂直平分线分别交 $\angle ABC$ 和 $\angle ACB$ 的平分线于 $E,F$ 两点．设 $AB=4$，$BC=5$，$CA=6$，则 $\triangle AEF$ 的面积的最简形式为 $\dfrac{m\sqrt n}p$（其中 $m,p$ 为互质正整数，$ n $ 不能被任何素数的平方整除），则 $ m+n+p=$ _______．
已知 $n$ 是使得 $3^3\cdot 5^5\cdot 7^7\mid 149^n-2^n$ 的最小正整数，则 $n$ 的正整数因子的个数为_______．
已知锐角非等边 $\triangle ABC$ 的外接圆为 $\omega$, 过点 $B,C$ 作 $ \omega $ 的切线相交于点 $ T $, $ T $ 在 $ AB, AC $ 上的投影分别为 $ X, Y $. 若 $ BT=CT=16 $, $ BC=22 $, 且 $ TX^2+TY^2+XY^2=1143 $, 则 $ XY^2=$ _______.
对于实数 $x$ 记 $\lfloor x \rfloor$ 为不超过 $x$ 的最大整数. 并定义 $x$ 的小数部分为 $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$. 例如, $\{3\}=0$, $\{4.56\}=0.56$. 令 $f(x)=x\{x\}$, 并记 $N$ 为关于 $x$ 的方程 $f(f(f(x)))=17$ 在区间 $[0,2020]$ 中的解的个数, 则 $N$ 模 $1000$ 的余数为_______.
已知凸五边形 $ABCDE$ 中, $AB=5$, $BC=CD=DE=6$, $EA=7$, 且五边形 $ABCDE$ 有内切圆, 则五边形 $ABCDE$ 的面积为_______.
在 $m\times n$ ($m,n>1$ 且 $m,n$ 均为奇数) 的矩形网格 (每个小格都是单位正方形) 中, 从第一行开始从左到右依次填入 $1,2,\cdots,n$, 第二行从左到右依次填入 $n+1,n+2,\cdots,2n$, 以此类推填入输入. 已知 $200$ 在第一行, $2000$ 在最后一行, 且经过 $200$ 和 $2000$ 所在的正方形中心的直线恰好通过 $1099$ 所在的正方形内部, 则符合条件的 $(m,n)$ 的组数为_______.
