每日一题[1756]构造图形

若实数 $x,y$ 满足 $x-4\sqrt y=2\sqrt{x-y}$，则 $x$ 的取值范围是_______．

答案    $\{0\}\cup [4,20]$．

解析    令 $\sqrt y=a$，$\sqrt{x-y}=b$（$a,b\geqslant 0$），此时 $x=y+(x-y)=a^{2}+b^{2}$，且条件中等式化为 $a^{2}+b^{2}-4a=2b$，从而 $a,b$ 满足方程\[(a-2)^{2}+(b-1)^{2}=5,\]其中 $a,b\geqslant 0$，如图所示．

在 $aOb$ 平面内，点 $(a,b)$ 的轨迹是以 $(1,2)$ 为圆心，$\sqrt 5$ 为半径的圆在 $a,b\geqslant 0$ 的部分，即点 $O$ 与弧 $ACB$ 的并集．因此 $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ 的取值范围是 $\{0\}\cup [2,2\sqrt 5]$，进而 $x$ 的取值范围是 $\{0\}\cup [4,20]$．