每日一题[1756]构造图形

若实数 $x,y$ 满足 $x-4\sqrt y=2\sqrt{x-y}$,则 $x$ 的取值范围是_______.

答案    $\{0\}\cup [4,20]$.

解析    令 $\sqrt y=a$,$\sqrt{x-y}=b$($a,b\geqslant 0$),此时 $x=y+(x-y)=a^{2}+b^{2}$,且条件中等式化为 $a^{2}+b^{2}-4a=2b$,从而 $a,b$ 满足方程\[(a-2)^{2}+(b-1)^{2}=5,\]其中 $a,b\geqslant 0$,如图所示.

在 $aOb$ 平面内,点 $(a,b)$ 的轨迹是以 $(1,2)$ 为圆心,$\sqrt 5$ 为半径的圆在 $a,b\geqslant 0$ 的部分,即点 $O$ 与弧 $ACB$ 的并集.因此 $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ 的取值范围是 $\{0\}\cup [2,2\sqrt 5]$,进而 $x$ 的取值范围是 $\{0\}\cup [4,20]$.

 

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