每日一题[1751]引参化常

设非负实数 $x,y$ 满足 $3x+y=1$.则 $x+\sqrt{x^2+y^2}$ 的最小值为_______.

答案    $\dfrac35$.

解析    引入参数 $\theta$,由柯西不等式,有\[x+\sqrt{x^2+y^2}\geqslant x+x\cos \theta x+y\sin\theta,\]令 $\dfrac{1+\cos\theta}{\sin\theta}=3$,解得 $\cos\theta=\dfrac 45$,因此\[x+\sqrt{x^2+y^2}\geqslant \dfrac 35(3x+y)=\dfrac 35,\]所求最小值为 $\dfrac 35$.

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