Math173

已知复数 $z$ 满足 $z^{111}=1$，$z^1+z^{10}-z^{11}=z^{-1}+z^{-10}-z^{-11}$，则满足条件的 $z$ 有_______个．

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若一个 $2020$ 位数可以写成两个 $1010$ 位数的积，则称为 $A$ 型，否则称为 $B$ 型，则 $A$ 型数和 $B$ 型数中个数较多的是_______型数．

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过抛物线 $y^2=2x$ 上一点 $P$ 作切线 $l$，过 $O$ 点作 $l$ 的垂线交 $PF$ 于 $Q$，$|OQ|=\dfrac 35$，则 $\triangle OFQ$ 的面积是_______．

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若存在正整数 $n$，使得 $3^m\mid \left(1!+2!+\cdots+n!\right)$，则正整数 $m$ 的最大值是_______．

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设 $a$ 为正实数，函数 $f(x)=a {\rm e}^{a x}-\sqrt{x}$ 存在零点 $x_{1}, x_{2}$（$x_{1}<x_{2}$），且存在极值点 $x_{0}$．

1、当 $a=1$ 时，求曲线 $f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处的切线方程．

2、求 $a$ 的取值范围，并证明：$2 x_{1}+3 x_{0}>3$．

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已知直线 $B C$ 垂直单位圆 $O$ 所在的平面，且直线 $B C$ 交单位圆于点 $A$，$A B=B C=1$，$P$ 为单位圆上除 $A$ 外的任意一点，$l$ 为过点 $P$ 的单位圆 $O$ 的切线，则（       ）

A．有且仅有一点 $P$ 使二面角 $B-l-C$ 取得最小值

B．有且仅有两点 $P$ 使二面角 $B-l-C$ 取得最小值

C．有且仅有一点 $P$ 使二面角 $B-l-C$ 取得最大值

D．有且仅有两点 $P$ 使二面角 $B-l-C$ 取得最大值

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已知正六棱雉 $V-A B C D E F$，$P$ 是侧棱 $V C$ 上一点（不含端点），记直线 $P B$ 与直线 $D E$ 所成角为 $\alpha$，直线 $P B$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $\beta$，二面角 $P-C D-F$ 的平面角为 $\gamma$，则（       ）

A．$\beta<\gamma$，$\alpha<\gamma$

B．$\beta<\alpha$，$\beta<\gamma$

C．$\beta<\alpha$，$\gamma<\alpha$

D．$\alpha<\beta$，$\gamma<\beta$

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已知 $-\dfrac{\pi}{2}<\beta-\alpha<\dfrac{\pi}{2}$，$\sin \beta-2 \cos \alpha=1$，$2 \sin \alpha+\cos \beta=\sqrt{2}$，则 $\sin \left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)=$ （       ）

A．$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

B．$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$

C．$\pm \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

D．$\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

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已知函数 $f(x)=\sin^2{\dfrac {\omega x}2}+\dfrac 12\sin \omega x-\dfrac 12(\omega>0)$，$x\in \mathbb R$．若 $f(x)$ 在区间 $(\pi,2\pi)$ 内没有零点，则 $\omega$ 的取值范围是（       ）

A．$\left(0,\dfrac 18\right]$

B．$\left(0,\dfrac 14\right]\cup \left[\dfrac 58,1\right)$

C．$\left(0,\dfrac 58\right]$

D．$\left(0,\dfrac 18\right]\cup \left[\dfrac 14,\dfrac 58\right]$

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已知函数 $f\left(x\right)=\begin{cases}\dfrac{1}{x+1}-3,&x\in\left(-1,0\right], \\ x,&x\in\left(0,1\right], \end{cases}$ 且 $g\left(x\right)=f\left(x\right)-mx-m$ 在 $\left(-1,1\right]$ 内有且仅有两个不同的零点，则实数 $m$ 的取值范围是（       ）

A．$\left(-\dfrac94,-2\right]\cup \left(0,\dfrac12\right]$

B．$\left(-\dfrac{11}{4},-2\right]\cup \left(0,\dfrac12\right]$

C．$\left(-\dfrac94,-2\right]\cup \left(0,\dfrac23\right]$

D．$\left(-\dfrac{11}{4},-2\right]\cup \left(0,\dfrac23\right]$

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