每日一题[2240]光学性质

过抛物线 $y^2=2x$ 上一点 $P$ 作切线 $l$,过 $O$ 点作 $l$ 的垂线交 $PF$ 于 $Q$,$|OQ|=\dfrac 35$,则 $\triangle OFQ$ 的面积是_______.

答案    $\dfrac{3}{25}$.

解析    设 $l$ 与 $x,y$ 轴分别交于点 $M,N$,则 $O$ 为 $FM$ 的中点,$N$ 为 $PM$ 的中点,且 $FP=FM$,如图.

设 $\angle FMP=\angle MPF=\theta$,则\[\angle FOQ=90^\circ-\theta=\angle OQF,\]从而 $|OF|=|FQ|=\dfrac 12$,因此 $\triangle OFQ$ 的面积为\[\dfrac 12\cdot \dfrac 35\cdot \sqrt{\left(\dfrac 12\right)^2-\left(\dfrac{3}{10}\right)^2}=\dfrac{3}{25}.\]

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