每日一题[2242]分解与展开

已知复数 $z$ 满足 $z^{111}=1$,$z^1+z^{10}-z^{11}=z^{-1}+z^{-10}-z^{-11}$,则满足条件的 $z$ 有_______个.

答案    $1$.

解析    根据题意,有\[(z-1)-z^{10}(z-1)=(z^{-1}-1)-z^{-10}(z^{-1}-1),\]于是\[(z-1)(1-z^{10})=(z^{-1}-1)(1-z^{-10}),\]因此\[z^{11}(z-1)(1-z^{10})=(1-z)(z^{10}-1),\]从而\[(1-z)(1-z^{10})(1-z^{11})=0,\]注意到 $10,11$ 均与 $111$ 互质,因此满足条件的 $z$ 只有 $1$ 个,为 $z=1$.

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