每日一题[2235]消元

已知 $-\dfrac{\pi}{2}<\beta-\alpha<\dfrac{\pi}{2}$,$\sin \beta-2 \cos \alpha=1$,$2 \sin \alpha+\cos \beta=\sqrt{2}$,则 $\sin \left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)=$ (       )

A.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

B.$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$

C.$\pm \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

D.$\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

答案    B.

解析    根据题意,有\[\begin{cases} \sin\beta=2\cos\alpha-1,\\ \cos\beta=\sqrt 2-2\sin\alpha,\end{cases}\implies (2\cos\alpha-1)^2+(\sqrt 2-2\sin\alpha)^2=1,\]其中 $\cos\alpha\in (0,1)$ 且 $\sin\alpha\in \left(\dfrac{\sqrt 2-1}2,\dfrac{\sqrt 2+1}2\right)$,即\[4\sqrt 2\sin\alpha+4\cos\alpha=6\iff \sin\left(\alpha+\arctan\dfrac{\sqrt 2}2\right)=\dfrac{\sqrt 3}2\iff \alpha=\dfrac{\pi}3-\arctan\dfrac{\sqrt 2}2,\]因此\[\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}6\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}2-\arctan\dfrac{\sqrt 2}2\right)=\dfrac{\sqrt 6}3.\]

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