Math173

已知 $\triangle ABC$ 内接于圆 $O$，$H$ 是垂心，$P$ 是圆 $O$ 上一点，$D,E,F$ 分别在 $BC,CA,AB$ 上，且满足 $HD\parallel AP$，$HE\parallel BP$，$HF\parallel CP$，$M$ 是 $HP$ 的中点，求证：$D,E,F,M$ 四点共线．

已知$\triangle ABC$ 内接于圆 $O$，$CD$ 为圆 $O$ 的切线，连接 $AD,BD,AD$ 交圆 $O$ 于点 $G$，$BD$ 分别交圆 $O$，$AC$ 于点 $E,H$，满足 $AB\cdot DH=AD\cdot BH$．连接 $CG,AE$ 并延长交 $CD$ 于点 $F$，若 $\cos\angle BAD=\dfrac{24}{25}$，$\tan\angle ACB=\dfrac{11}2$，$AG=\dfrac{11\sqrt 5}3$，求 $\triangle DEF$ 的面积．

2021年6月30日，by xixiggg：

设 $P$ 关于 $\odot O$ 对径点为 $Q$，$QH,CH$ 与 $\odot O$ 另一交点分别为 $R,K$．

熟知 $H,K$ 关于 $AB$ 对称，又\[\angle KHF=\angle KCP=\angle KRP=\angle KRH-90^{\circ}.\]由上述两条件可知 $F$ 即为 $\triangle HRK$ 外心．（设 $F'$ 为 $\triangle HRK$ 外心，则有 $F'$ 在 $HK$ 中垂线上且 $\angle F'HK=\angle HRK-90^{\circ}$，于是 $F\equiv F'$．）因此，$F$ 在 $HR$ 中垂线上．同理，$D$，$E$ 也在 $HR$ 中垂线上．又注意到 $M$ 为直角 $\triangle HRP$ 的外心，所以 $M$ 在 $HR$ 中垂线上．因此 $D,E,F,M$ 四点共线．

假设 $a$ 和 $b$ 为两个正整数，且 $a>b$，证明：辗转相除法的长度\[n\leqslant {\log_{\alpha}}b+1,\]其中 $\alpha=\dfrac{1+\sqrt 5}2$．

已知$\triangle ABC$ 中，$AD,BF,CE$ 相交于点 $G$，$AB=CG$，$\angle AEC=60^\circ$，$\angle CAD=30^\circ$，$BG=3\sqrt 7$，则 $EG=$_______．

已知整数 $n\geqslant 2$，集合 $\{1,2,3,\cdots,2n\}$ 的一个排列 $x_1,x_2,\cdots,x_{2n}$ 中，如果 $|x_i-x_{i+n}|=n$ 对于某个 $i$ 成立，则称这一个排列具有性质 $P$．

1、计算具有性质 $P$ 的排列总数．

2、证明具有性质 $P$ 的排列个数比不具有性质 $P$ 的排列个数多．（可以给出更精确的估计）

设 $n\geqslant 2$，$x_1,x_2,\cdots,x_n\in\mathbb R^+$ 且满足对任意 $1\leqslant i<j\leqslant n$，有 $x_ix_j\geqslant i$，求 $x_1x_2\cdots x_n$ 的最小值．

『5789577』设 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是单调递增的数列．

1、求证：\[\left(\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}|x_i-x_j|\right)^2\leqslant \dfrac{2(n^2-1)}3\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_i-x_j)^2.\]

2、求证：\[\left(\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}|x_i-x_j|\right)^4\leqslant \dfrac{8(n-1)^3(n+1)(2n^2-3)}{15}\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_i-x_j)^4.\]