已知关于 $x$ 的方程 ${\rm e}^{x+m}-({\rm e}-2)\ln x-\ln ^2x-(m+2)=0$ 恰有两个实数解，求实数 $m$ 的取值范围．
如图，直线 $y=kx-8k$ 交 $x$ 轴于点 $A$，交 $y$ 轴正半轴于点 $B$，且 $\triangle AOB$ 的面积等于 $32$．
1、求直线 $AB$ 的解析式．
2、点 $P$ 为 $OA$ 上一点，连接 $PB$，把线段 $PB$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90^\circ$ 得到线段 $CB$，连接 $PC$，设点 $P$ 的横坐标为 $m$，四边形 $PABC$ 的面积为 $S$，求 $S$ 与 $m$ 的函数关系式．
3、在第 $(2)$ 小题的条件下，延长 $BC$ 交 $x$ 轴于点 $E$，点 $D$ 在 $EB$ 的延长线上，且 $∠ADB=4\angle CPE$，若 $AD+BD=BE$，求点 $D$ 的坐标．
已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）上两点 $A,B$ 与坐标原点 $O$ 构成正三角形，且这样的正三角形有 $4$ 个，则该双曲线的离心率的范围是_______．
已知 $x,y\in \mathbb R^+$，且 $\dfrac 4x+\dfrac 9y=1$，则 $\dfrac 4{2x^2+x}+\dfrac 9{y^2+y}$ 的最小值是_______．
设三角形的边长为不相等的整数，且最大边长为 $n$，这些三角形的个数为 $a_n$．
1、求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．
2、在 $1,2, \cdots, 100$ 中任取三个不同的整数，求它们可以是一个三角形的三条边长的概率．
给定正整数 $n\geqslant 3$．求最大的实数 $M$，使得\[\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{a_k}{a_k+a_{k+1}}\right)^2\geqslant M\]对于任意正实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 恒成立，其中 $a_{n+1}=a_1$．
在平面直角坐标系中，点 $A,B,C$ 在双曲线 $xy=1$ 上，满足 $\triangle ABC$ 为等腰直角三角形．求 $\triangle ABC$ 的面积的最小值．
给定正实数 $0<a<b$，设 $x_1,x_2,x_3,x_4\in [a,b]$，试求 $\dfrac{\dfrac{x_1^2}{x_2}+\dfrac{x_2^2}{x_3}+\dfrac{x_3^2}{x_4}+\dfrac{x_4^2}{x_1}}{x_1+x_2+x_3+x_4}$ 的最小值与最大值．
设 $a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是正整数，且 $a_0>a_1>a_2>\cdots>a_n>1$，并满足\[\left(1-\dfrac 1{a_1}\right)+\left(1-\dfrac{1}{a_2}\right)+\cdots+\left(1-\dfrac{1}{a_n}\right)=2\left(1-\dfrac{1}{a_0}\right),\]试求出 $(a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 的所有可能的解．
设 $F$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}3+y^2=1$ 的左焦点，过点 $F$ 且斜率为正的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $A,B$ 两点，过点 $A,B$ 分别作直线 $AM$ 和 $BN$ 满足 $AM\perp l$，$BN\perp l$，且直线 $AM,BN$ 分别与 $x$ 轴相交于点 $M$ 和 $N$，试求 $|MN|$ 的最小值．
