已知函数 $f(x)=\ln (x+1)-ax-1$，其中 $a\leqslant -\dfrac 3{10}$．
1、证明：$f(x)$ 有唯一零点．
2、设 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的零点，证明： ① $\dfrac{1}{1-a}\leqslant x_0\leqslant 1-a$； ② $\dfrac{3-10a+8a^2-2a^3}{2(2-a)^2}\leqslant f(x_0+1)\leqslant \dfrac{a^2-3a+1}{2-a}$． 参考数据：$\ln 2\approx 0.693$，$\ln 3\approx 1.098$．
已知抛物线 $x^2=4y$，点 $A$ 在抛物线上，且在第一象限，以点 $A$ 为切点作抛物线的切线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $B$，过点 $B$ 作垂直于 $l$ 的直线 $l'$ 交抛物线于 $C,D$ 两点，其中点 $C$ 在第一象限，设 $l'$ 与 $y$ 轴交于点 $K$．
1、若点 $A$ 的横坐标为 $2$，求切线 $l$ 的方程．
2、连接 $OC,OD,AK,AC$，记 $\triangle OKD,\triangle OKC,\triangle AKC$ 的面积为 $S_1,S_2,S_3$，求 $\dfrac{S_3}{S_2}\cdot \left(\dfrac{S_1}{S_2}-1\right)$ 的最小值．
已知 $\{a_n\}$ 是公差 $d$ 不等于 $0$ 的等差数列，且 $\{a_{k_n}\}$ 是等比数列，其中 $k_1=3$，$k_2=5$，$k_3=9$．
1、求 $k_1+k_2+\cdots+k_n$ 的值．
2、若 $b_n=\dfrac{a_{n+1}}{a_{n+2}}+\sqrt{\dfrac{a_n}{a_{n+2}}}$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，证明：\[\dfrac{1}{1\cdot 2\sqrt{2b_1}}+\dfrac{1}{2\cdot 3\sqrt{2b_2}}+\cdots+\dfrac{1}{n\cdot (n+1)\sqrt{2b_n}}<\sqrt{\dfrac n{n+1}}.\]
已知函数 $f(x)=|x^2+a|+|x|$，当 $x\in [-1,1]$ 时，记函数 $f(x)$ 的最大值为 $M(a)$，则 $ M(a)$ 的最小值为_______．
已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）左右焦点分别为 $F_1,F_2$，过点 $F_1$ 作与一条渐近线垂直的直线 $l$，且 $l$ 与双曲线的左右两支分别交于 $M,N$ 两点，若 $|MN|=|NF_2|$，则该双曲线的渐近线方程为_______．
在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为边 $BC$ 的中点，$E$ 为边 $BC$ 上一点，且 $AE=AC=BE$，$DE=1$，若 $\cos C=\dfrac 13$，则 $\triangle ABC$ 的面积等于_______
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac 12$，$a_{n+1}={\rm e}^{a_n-1}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），其中 ${\rm e}=2.71828\cdots$，记 $T_n$ 表示数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项乘积，则（ ）
A．$a_{100}<\dfrac 12$
B．$a_{100}>1$
C．$T_{99}\in\left(0,\dfrac{1}{100}\right)$
D．$T_{99}\in\left(\dfrac{1}{100},\dfrac{1}{10}\right)$
已知 $P,Q,M$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上不同的三点，且原点 $O$ 是 $\triangle PQM$ 的重心，若点 $M\left(\dfrac{\sqrt 2}2a,\dfrac{\sqrt 2}2b\right)$，直线 $PQ$ 的斜率恒为 $-\dfrac 12$，则椭圆 $C$ 的离心率为（ ）
A．$\dfrac{\sqrt 2}3$
B．$\dfrac{\sqrt 3}3$
C．$\dfrac{\sqrt 2}2$
D．$\dfrac{\sqrt 3}2$
已知随机变量 $X$ 的分布列如下表所示\[\begin{array}{c|c|c|c}\hline X&0&1&2\\ \hline P&a&b&c\\ \hline\end{array}\]若 $4a,b,c$ 成等比数列，则 $D(X)$ 的最大值为（ ）
A．$\dfrac 16$
B．$\dfrac 13$
C．$\dfrac 12$
D．$1$
已知函数 $f(x)=\dfrac{{\rm e}^x-a}x+b$ 在点 $(1,{\rm e}-1)$ 处的切线与直线 $l:x+y=0$ 垂直．
1、设函数 $g(x)=xf(x)-x^2$，求函数 $g(x)$ 的单调区间．
2、证明：${\rm e}^x-2x\ln x-x>1$． 参考数据：$\ln 2\approx 0.693$，${\rm e}\approx 2.718$．
