如果 $\cos x+\cos y+\cos z=0$，$ \sin x+\sin y=\sin z$，那么 $ \cos ^{2} x+\cos ^{2} y+\cos ^{2} z=$ _______．
已知 $1+\sqrt 2+\cdots+\sqrt n<C\cdot (n+1)^{\frac 32}$，求证：当 $C=\dfrac 23$ 时，不等式恒成立，且 $C<\dfrac 23$ 时该不等式不恒成立．
已知 $f(x)=x^3+ax^2-x+1-a$，且对任意 $x\in [-1,1]$，$|f(x)|\geqslant |x|$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
已知 $a=2020^{2020}$，$b=\sqrt{2019^{2021}\cdot 2021^{2019}}$，$c=\dfrac 12\left(2019^{2021}+2021^{2019}\right)$，则 $a,b,c$ 的大小顺序是_______（从小到大用 $<$ 连接）．
若 $|5x+6y|+|9x+11y|\leqslant 1$，则点 $(x,y)$ 对应的点集图形的面积 $S=$ _______．
已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[\pi]=3$，$[-\pi]=-4$ 等，则\[\left[\dfrac{2^0}3\right]+\left[\dfrac {2^1}{3}\right]+\left[\dfrac{2^2}{3}\right]+\cdots+\left[\dfrac{2^{2020}}3\right]\]的值是_______．
已知 $\left|\boldsymbol a\right|=\left|\boldsymbol a+2\boldsymbol b\right|=2$，求 $\left|2\boldsymbol a+\boldsymbol b\right|+\left|\boldsymbol b\right|$ 的最大值．
有一长、宽、高分别为正整数 $m, n, r$（$m \leqslant n \leqslant r$）的长方体，表面涂上红色后切成棱长为 $1$ 的正方体，已知不带红色的正方体个数与两面带红色的正方体个数之和，减去一面带红色的正方体个数得 $1985$．求 $m, n, r$ 的值．
