每日一题[2238]置换放缩

设 $a$ 为正实数,函数 $f(x)=a {\rm e}^{a x}-\sqrt{x}$ 存在零点 $x_{1}, x_{2}$($x_{1}<x_{2}$),且存在极值点 $x_{0}$.

1、当 $a=1$ 时,求曲线 $f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处的切线方程.

2、求 $a$ 的取值范围,并证明:$2 x_{1}+3 x_{0}>3$.

解析

1、当 $a=1$ 时,函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=a^2{\rm e}^{ax}-\dfrac{1}{2\sqrt x}={\rm e}^x-\dfrac{1}{2\sqrt x},\]因此 $f(1)={\rm e}-1$,$f'(1)={\rm e}-\dfrac 12$,于是所求切线方程为\[y=f(1)+f'(x)(x-1)\iff y=\left({\rm e}-\dfrac 12\right)x-\dfrac 12.\]

2、函数 $f'(x)$ 单调递增,考虑到当 $x\to 0+$ 时,$f'(x)\to -\infty$,当 $x\to +\infty$ 时,$f'(x)\to +\infty$,进而可得函数 $f'(x)$ 有唯一零点,即函数 $f(x)$ 的极值点 $x_0$,结合当 $x\to 0+$ 时,$f(x)\to a$,当 $x\to +\infty$ 时,$f(x)\to +\infty$,于是\[\begin{cases} a^2{\rm e}^{ax_0}-\dfrac{1}{2\sqrt{x_0}}=0,\\ a{\rm e}^{ax_0}-\sqrt{x_0}<0,\end{cases}\implies \begin{cases} {\rm e}^{ax_0}=\dfrac{1}{2a^2\sqrt{x_0}},\\ 2ax_0>1,\end{cases}\]因此\[\sqrt{ax_0}{\rm e}^{ax_0}=\dfrac{1}{2a\sqrt a}>\dfrac{\sqrt {2{\rm e}}}2,\]从而 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{1}{\sqrt[3]{2{\rm e}}}\right)$.进而\[2x_1+3x_0>2\left(a{\rm e}^{ax_1}\right)^2+\dfrac{3}{2a}>2a^2+\dfrac 3{4a}+\dfrac{3}{4a}\geqslant 3\sqrt[3]{\dfrac 98}>3,\]命题得证.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论