每日一题[2234]漏网之鱼

已知函数 $f(x)=\sin^2{\dfrac {\omega x}2}+\dfrac 12\sin \omega x-\dfrac 12(\omega>0)$，$x\in \mathbb R$．若 $f(x)$ 在区间 $(\pi,2\pi)$ 内没有零点，则 $\omega$ 的取值范围是（       ）

A．$\left(0,\dfrac 18\right]$

B．$\left(0,\dfrac 14\right]\cup \left[\dfrac 58,1\right)$

C．$\left(0,\dfrac 58\right]$

D．$\left(0,\dfrac 18\right]\cup \left[\dfrac 14,\dfrac 58\right]$

答案    D．

解析    函数 $f(x)$ 可以化简为 $f(x)=\dfrac {\sqrt 2}2\sin\left(\omega x-\dfrac{\pi}4\right)$．当 $x\in (\pi,2\pi)$ 时，有

$$\left(\omega-\dfrac 14\right)\pi <\omega x-\dfrac{\pi}4<\left(2\omega-\dfrac 14\right)\pi,$$ 因此题意即在区间 $\left(\omega-\dfrac 14,2\omega-\dfrac 14\right)$ 中不存在整数．

如图，作出区间端点对应的直线，以及 $k=0,1,2,\cdots$，从反面考虑，可以得到 $\omega$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 18\right]\cup \left[\dfrac 14,\dfrac 58\right]$．