每日一题[2234]漏网之鱼

已知函数 $f(x)=\sin^2{\dfrac {\omega x}2}+\dfrac 12\sin \omega x-\dfrac 12(\omega>0)$,$x\in \mathbb R$.若 $f(x)$ 在区间 $(\pi,2\pi)$ 内没有零点,则 $\omega$ 的取值范围是(       )

A.$\left(0,\dfrac 18\right]$

B.$\left(0,\dfrac 14\right]\cup \left[\dfrac 58,1\right)$

C.$\left(0,\dfrac 58\right]$

D.$\left(0,\dfrac 18\right]\cup \left[\dfrac 14,\dfrac 58\right]$

答案    D.

解析    函数 $f(x)$ 可以化简为 $f(x)=\dfrac {\sqrt 2}2\sin\left(\omega x-\dfrac{\pi}4\right)$.当 $x\in (\pi,2\pi)$ 时,有\[\left(\omega-\dfrac 14\right)\pi <\omega x-\dfrac{\pi}4<\left(2\omega-\dfrac 14\right)\pi,\]因此题意即在区间 $\left(\omega-\dfrac 14,2\omega-\dfrac 14\right)$ 中不存在整数.

如图,作出区间端点对应的直线,以及 $k=0,1,2,\cdots$,从反面考虑,可以得到 $\omega$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 18\right]\cup \left[\dfrac 14,\dfrac 58\right]$.

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