每日一题[2237]四三二一大法

已知直线 $B C$ 垂直单位圆 $O$ 所在的平面,且直线 $B C$ 交单位圆于点 $A$,$A B=B C=1$,$P$ 为单位圆上除 $A$ 外的任意一点,$l$ 为过点 $P$ 的单位圆 $O$ 的切线,则(       )

A.有且仅有一点 $P$ 使二面角 $B-l-C$ 取得最小值

B.有且仅有两点 $P$ 使二面角 $B-l-C$ 取得最小值

C.有且仅有一点 $P$ 使二面角 $B-l-C$ 取得最大值

D.有且仅有两点 $P$ 使二面角 $B-l-C$ 取得最大值

答案    D.

解析    以单位圆的圆心 $O$ 为坐标原点建立空间直角坐标系,设 $A(-1,0,0)$,$B(-1,0,1)$,$C(-1,0,2)$,$P(\cos\theta,\sin\theta,0)$,则直线 $l$ 的方向向量\[\overrightarrow l=(\sin\theta,-\cos\theta,0),\]而\[\overrightarrow{BP}=(\cos\theta+1,\sin\theta,-1),\quad \overrightarrow {PC}=(-1-\cos\theta,-\sin\theta,2),\]因此\[\begin{cases} \overrightarrow n_{Bl}=\left(-\cos\theta,-\sin\theta,-1-\cos\theta\right),\\ \overrightarrow n_{lC}=\left(-2\cos\theta,-2\sin\theta,-1-\cos\theta\right),\end{cases}\]因此二面角 $B-l-C$ 的余弦\[\cos\varphi=\dfrac{\overrightarrow n_{Bl}\cdot \overrightarrow n_{lC}}{\left|\overrightarrow n_{Bl}\right|\cdot \left|\overrightarrow n_{lC}\right|}=\dfrac{2+(1+\cos\theta)^2}{\sqrt{1+(1+\cos\theta)^2}\cdot \sqrt{2^2+(1+\cos\theta)^2}},\]令 $t=(1+\cos\theta)^2$,则\[\cos\varphi=\sqrt{\dfrac{t^2+4t+4}{t^2+5t+4}}=\sqrt{1-\dfrac{1}{t+\dfrac 4t+5}}\geqslant \dfrac{2\sqrt 2}3,\]因此 $\varphi$ 的最大值为 $\arccos\dfrac{2\sqrt 2}3$,当且仅当 $t=2$,即 $\cos\theta=\sqrt 2-1$ 时取得,此时对应的点有 $2$ 个.

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