1、椭圆$C$的两个焦点分别为$F_1,F_2$，椭圆$C$上恰好有$6$个不同的点$P$使得$\triangle PF_1F_2$为等腰三角形，则椭圆$C$的离心率的取值范围是_______． 继续阅读
本题改编自2009年复旦千分考试题：
若两条曲线$f,g$在公共点$P$处的切线互相垂直，那么称这两条曲线正交于点$P$．已知$AB$是单位圆$D$的一条弦，称与单位圆$D$同时正交于点$A$和点$B$的圆弧$AB$为$D$的曲弦，记作$(AB)$．当$AB$是单位圆$D$的直径时，定义曲弦$(AB)$为直径$AB$．下列说法错误的是（ ）
A．存在曲弦$(AB)$，使得对单位圆内部任意一点$P$，均存在过$P$的曲弦$(CD)$与$(AB)$正交于某点
B．若曲弦$(AB)$与曲弦$(CD)$相切，那么切点一定在单位圆上
C．存在曲弦$(AB)$和曲弦$(CD)$，它们恰好有两个公共点
D．对任意曲弦$(AB)$和不在曲弦$(AB)$上的单位圆内部一点$P$，均存在曲弦$(CD)$经过点$P$且与$(AB)$没有公共点
对于级数不等式我们已经在高一的每周一招[6]和[7]中介绍了等比放缩法与裂项放缩法，在有了导数这个强有力的研究函数的工具后，对于级数不等式我们又多出了一些应对招式，今天介绍的积分放缩法是处理部分级数不等式问题的非常强有力的方法．
已知$f(x)=x-\ln x$的图象与直线$y=m$交于不同的两点$(x_1,m)$和$(x_2,m)$，求证：$x_1x_2^2<2$．
在几何概型问题中，如果所求概率本身已经与一种几何度量（长度、面积或体积）相关，比如$x\in [0,10]$，求$x^2>4$的概率．这个问题不需要进行转化，因为问题本身就可能看出是一个几何概型问题，所求概率就是区间$[2,10]$的长度与$[0,10]$的长度之比．但有些几何概型问题直接来源于实际问题，首先需要引入合适的未知数，转化为几何概型问题才能求解，本文想通过例题来讲讲如何进行建模与转化．
已知$a_1=1$，$b_1=-1$，$a_{n+1}=a_nb_{n+1}$，$b_{n+1}=\dfrac{b_n}{1-4a_n^2}$，求数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$的通项公式．
如图，过抛物线$y^2=4x$的焦点$F$作抛物线的两条弦$AB,CD$，设直线$AC$与$BD$的交点为$P$，直线$AC,BD$分别与$y$轴交于$M,N$．
（1）求证：$P$点恒在准线上；
（2）求证：四边形$PMFN$为平行四边形．
如图，双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)的右顶点为$A$，左右焦点分别为$F_1,F_2$，点$P$是双曲线右支上一点，$PF_1$交左支于点$Q$，交渐近线$y=\dfrac bax$于点$R$，$M$是$PQ$的中点，若$RF_2\perp PF_1$，且$AM\perp PF_1$，则双曲线的离心率为_______．
若无穷数列$\left\{a_n\right\} $满足：只要$a_p=a_q \left(p,q\in \mathbf{N}^{*} \right) $，必有$a_{p+1}=a_{q+1}$，则称$\left\{a_n\right\} $具有性质$\mathbf{P}$.
(1) 若$ \left\{a_n\right\} $具有性质$\mathbf{P}$，且$a_1=1,\ a_2=2,\ a_4=3,\ a_5=2,\ a_6+a_7+a_8=21$，求$a_3$；
(2) 若无穷数列$\left\{b_n\right\} $是等差数列，无穷数列$\left\{c_n\right\} $是公比为正数的等比数列，$b_1=c_5=1,\ b_5=c_1=81,\ a_n=b_n+c_n$，判断$\left\{a_n\right\} $是否具有性质$\mathbf{P}$，并说明理由；
(3) 设$\left\{b_n\right\} $是无穷数列，已知$a_{n+1}=b_n+\sin{a_n}\left(n\in \mathbf{N}^{*} \right) $，求证：“对任意$a_1$，$\left\{a_n\right\} $都具有性质$\mathbf{P}$”的充要条件为“$\left\{b_n\right\} $是常数列”．
