每日一题[510]何必自挂东南枝

已知$a_1=1$,$b_1=-1$,$a_{n+1}=a_nb_{n+1}$,$b_{n+1}=\dfrac{b_n}{1-4a_n^2}$,求数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$的通项公式.


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分析与解    若消$b_n$,则有$$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\dfrac{a_n}{a_{n-1}}}{1-4a_n^2},$$即$$\dfrac{a_{n+1}}{a_n^2}=\dfrac{1}{a_{n-1}(1-4a_n^2)},$$接下来无从下手,转而选择消去$a_n$.

根据已知,有$$4a_n^2=1-\dfrac{b_n}{b_{n+1}},$$而$$4a_{n+1}^2=4a_n^2b_{n+1}^2,$$从而$$1-\dfrac{b_{n+1}}{b_{n+2}}=(b_{n+1}-b_n)\cdot b_{n+1},$$从而$$b_{n+1}+\dfrac{1}{b_{n+2}}=b_n+\dfrac{1}{b_{n+1}},$$因此数列$\left\{b_n+\dfrac{1}{b_{n+1}}\right\}$为常数列,有$$b_n+\dfrac{1}{b_{n+1}}=2,$$于是$$\dfrac{1}{b_{n+1}-1}=\dfrac{1}{b_n-1}-1,$$因此可以求得$$\dfrac{1}{b_n-1}=-n+\dfrac 12,$$化简得$$b_n=\dfrac{2n-3}{2n-1}.$$进而$$a_n=b_n\cdot b_{n-1}\cdots  b_2\cdot a_1=\dfrac{1}{2n-1}.$$

综上,数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$的通项公式为$$a_n=\dfrac{1}{2n-1},b_n=\dfrac{2n-3}{2n-1}.$$

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