几何概型中的建模与转化

在几何概型问题中,如果所求概率本身已经与一种几何度量(长度、面积或体积)相关,比如$x\in [0,10]$,求$x^2>4$的概率.这个问题不需要进行转化,因为问题本身就可能看出是一个几何概型问题,所求概率就是区间$[2,10]$的长度与$[0,10]$的长度之比.但有些几何概型问题直接来源于实际问题,首先需要引入合适的未知数,转化为几何概型问题才能求解,本文想通过例题来讲讲如何进行建模与转化.


例题一 将长为$1$的小棒折成三段.

(1)求三段长度都不超过$\dfrac 23$的概率.

(2)求三段恰好构成三角形的概率.

cover

分析与解 要想确定小棒折成的三段长度,就需要确定折断的两个点的位置,可以取如下两个长度$x,y$为未知数(当然,也可以取其它的,只要能确定折断点位置即可):

屏幕快照 2016-05-11 下午3.38.45

要让每个$(x,y)$的值与一种折断方式对应,$(x,y)$需要满足约束条件$$\begin{cases} x>0,\\y>0,\\x+y<1.\end{cases} $$这是一个平面区域.

(1)三段长度都不超过$\dfrac 23$对应的$(x,y)$需要满足约束条件$$\begin{cases} x\leqslant \dfrac 23,\\y\leqslant \dfrac 23,\\1-(x+y)\leqslant \dfrac 23.\end{cases} $$对应的平面区域如下: 

屏幕快照 2016-05-11 下午3.59.25

故所求概率为$\dfrac 23$.

(2)三段长度可以构成三角形对应的$(x,y)$还需要满足$$\begin{cases} x+y>1-(x+y),\\1-x>x,\\1-y>y.\end{cases} $$即$$\begin{cases} x+y>\dfrac 12,\\x<\dfrac 12,\\y<\dfrac 12.\end{cases} $$对应的平面区域如下:

屏幕快照 2016-05-11 下午4.34.34

故所求概率为$\dfrac 12$.


例题二 在单位圆的圆周上随机取三点$A,B,C$,求$\triangle ABC$是锐角三角形的概率.

屏幕快照 2016-05-11 下午4.36.23

分析与解 记$\overparen{AB}=x,\overparen{BC}=y$,则$\overparen{AC}=2\pi-x-y$.

固定点$A$,要使得$(x,y)$与$B,C$的位置对应,$(x,y)$需要满足$$\begin{cases} x>0,\\y>0,\\2\pi-x-y>0.\end{cases} $$要使得$\triangle ABC$为锐角三角形,需要有$$(x<\pi) \lor (y<\pi) \lor (2\pi -x-y<\pi),$$对应的平面区域如下:

屏幕快照 2016-05-11 下午4.31.25

故所求概率为$\dfrac 14$.


练习一 尝试利用下面的参数$x,y$去计算例题一.

屏幕快照 2016-05-11 下午4.03.17

提示 (1)对应的平面区域如图:屏幕快照 2016-05-11 下午4.21.09

(2)对应的平面区域如图:屏幕快照 2016-05-11 下午4.21.17

练习二 要在相距$120$米的$A,B$两盏路灯间随机增加两个路灯,求这四盏路灯中任意相邻的两盏路灯的间隔都不小于$30$米的概率.

答案 $\dfrac {1}{16}$.

此条目发表在方法技巧分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论