证明级数不等式的积分放缩法入门

对于级数不等式我们已经在高一的每周一招[6]和[7]中介绍了等比放缩法与裂项放缩法，在有了导数这个强有力的研究函数的工具后，对于级数不等式我们又多出了一些应对招式，今天介绍的积分放缩法是处理部分级数不等式问题的非常强有力的方法．

利用函数的定积分对数列级数进行有效的放缩，需要以下引理：

对于函数$f\left( x \right)$，若$p,q$为整数，且$p < q$，$f(x)>0$，有：

引理    若$f\left( x \right)$单调递增，则$$\int_{p-1}^q {f\left( x \right){\rm d}x} < \sum\limits_{i = p}^q {f\left( i \right)} < \int_p^{q + 1} {f\left( x \right){\rm d}x} ;$$若$f\left( x \right)$单调递减，则$$\int_p^{q + 1} {f\left( x \right){\rm d}x} < \sum\limits_{i = p}^q {f\left( i \right)} < \int_{p-1}^q {f\left( x \right){\rm d}x}.$$由定积分表示的曲边梯形的面积可以直接得到以上引理，我们以高二每周一招[7]中例题二为例看看这个引理的应用：

例题一　证明：$\ln(n+1)<\sum\limits_{i=1}^n{\dfrac 1i}\leqslant 1+\ln n$．

分析与证明　考虑函数$f(x)=\dfrac 1x$，于是下图中阴影部分的面积为$\sum\limits_{i=2}^n\dfrac 1{i}$，

而定积分表示曲边梯形的面积，于是有$$\sum_{i=2}^n\dfrac 1{i}<\int_{1}^n\dfrac 1x{\rm d}x=\left.\ln x\right|_{1}^n=\ln n,$$知右边的不等式成立，再证左边，如下图：

于是有$$\sum_{i=1}^n\dfrac 1i>\int_{1}^{n+1}\dfrac 1x{\rm d}x=\left.\ln x\right|_1^{n+1}=\ln(n+1).$$于是不等式得证．

注　结合图象知如果调整积分的起始点，可以使得级数求和的上下界更精确，比如容易证明$$\ln(n+1)+1-\ln 2<\sum\limits_{i=1}^n{\dfrac 1i}<\ln n+\dfrac 32-\ln 2.$$

例题二　证明：$\sum\limits_{i=1}^n{\dfrac 2{2i-1}}-\ln(2n-1)\leqslant 2,n\in\mathcal N^*$．

分析与证明　$n=1$时显然成立，所以要证不等式即$$\sum_{i=2}^n\dfrac {2}{2i-1}<\ln(2n-1),n\geqslant 2.$$考虑函数$f(x)=\dfrac 2{2x-1}$，则$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递减，所以有$$\sum_{i=2}^n\dfrac {2}{2i-1}<\int_{1}^n\dfrac 2{2x-1}{\rm d}x=\ln(2x-1)|_1^n=\ln(2n-1).$$不等式得证．

最后给出一道练习：

练习　证明：\(\sum\limits_{i=1}^n\dfrac 1{i^3}<\dfrac{5}{4}(n\in\mathcal N^*)\)．

提示　注意选择积分的起点，$n=1,2$时不等式显然成立，当$n\geqslant 3$时，有$$\sum_{i=3}^n\dfrac 1{i^3}<\int_{2}^n\dfrac 1{x^3}{\rm d}x=\left.\left(-\dfrac 1{2x^2}\right )\right|_2^n=-\dfrac 1{2n^2}+\dfrac 18<\dfrac 18.$$

注　本文只给出了证明级数不等式的积分放缩法的基本原理与思路，想进一步学习见证明级数不等式的积分放缩法．