每日一题[509]抛物线的几何平均性质

如图,过抛物线$y^2=4x$的焦点$F$作抛物线的两条弦$AB,CD$,设直线$AC$与$BD$的交点为$P$,直线$AC,BD$分别与$y$轴交于$M,N$.

(1)求证:$P$点恒在准线上;

(2)求证:四边形$PMFN$为平行四边形.

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证明     设$A(4a^2,4a)$,$D(4b^2,4b)$.由抛物线的几何平均性质,可得$B\left(\dfrac1{4a^2},-\dfrac 1a\right)$,$C\left(\dfrac{1}{4b^2},-\dfrac 1b\right)$,则可得直线$$AC:y=\dfrac{4b}{4ab-1}x-\dfrac{4a}{4ab-1},$$于是直线$$BD:y=\dfrac{4a}{4ab-1}x-\dfrac{4b}{4ab-1},$$且$$M\left(0,-\dfrac{4a}{4ab-1}\right),N\left(0,-\dfrac{4b}{4ab-1}\right).$$

(1)联立直线$AC$与直线$BD$的方程可得$P$点的横坐标为定值$-1$;

(2)易得直线$AC$的斜率与直线$FN$的斜率相等,且直线$BD$的斜率与直线$FM$的斜率相等,因此四边形$PMFN$为平行四边形.

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