已知$g(x)=|x^2-ax-a|$，若对任意实数$a$，存在$x_0\in [0,1]$，使$g(x_0)\geqslant k$成立，求$k$的取值范围．
有人将计数问题“总结”成：若干个球放入若干个盒子问题，其中球可以是相同的（彼此之间不作区分），也可以是不同的；盒子可以是相同的，也可以是不同的；另外，每个盒子中球的数目可以没有限制，也可以有要求．于是就出来$8$种不同的计数问题模型，比如将四本不同的书送给三个人，要求每人至少一本．有多少种不同的分法？就是对应球不同，盒不同，盒中球数有要求的．今天我们想讲的是针对：球相同，盒不同的问题，从每盒至少一球开始，再延伸到球数的各种其它限制上，由此来讲讲隔板法与对应法． 继续阅读
已知$f(x)=ax^2+|x-a|+b$，若对于任意$b\in [0,1]$和任意$x\in [-3,3]$均有$|f(x)|\leqslant 2$恒成立，求$a$的取值范围．
在线性规划问题中，有一类目标函数是以比值形式出现的，比如$z=\dfrac {y-2}{x+1}$，通常遇到这类比值都会联想到斜率公式，比如上面这个目标函数表示可行域内的点$(x,y)$与定点$(-1,2)$的连线的斜率，再借助可行域与定点的位置关系就可以得到斜率的范围．有时，转化会更复杂，需要进行适当的换元，将原来的$(x,y)$及其满足的可行域转化成新的未知数与新的相关可行域，再通过斜率的定义去求目标函数的范围．下面我们就具体来看一看． 继续阅读
已知点$F$是椭圆$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}9=1$的左焦点，直线$AB$经过$F$且与椭圆交于$A,B$两点．若$O$为坐标原点，$\triangle AOB$的面积是$\dfrac 92$，求直线$AB$的斜率$k$．
已知锐角三角形$ABC$中一点$P$满足$\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=120^\circ$，求证：$$S_{\triangle BPC}:S_{\triangle CPA}:S_{\triangle APB}=\dfrac{\sin A}{\sin (A+60^\circ)}:\dfrac{\sin B}{\sin (B+60^\circ)}:\dfrac{\sin C}{\sin (C+60^\circ)}.$$
如图，已知双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，过$F_2$作直线与双曲线右支交于$P,Q$两点，且$PF_1\perp PQ$．记$\lambda =\dfrac{|PQ|}{|PF_1|}$，若$\lambda\in\left[\dfrac {5}{12},\dfrac{4}{3}\right]$，则双曲线离心率的取值范围是_______．
设封闭曲线$E_n:\dfrac{x^{2^n}}{a^2}+\dfrac{y^{2^n}}{b^2}=1$($a,b\geqslant 2$，$n\in\mathcal N^*$)所围成的面积为$S_n$，求证：$4<S_n\leqslant ab\pi$．
有一类常见的指对混合不等式形如$$x^{k}\cdot {\rm e}^x-\ln x>p,$$其中$k,p$均为常数．接下来我们学习山东郑海明老师对于这类不等式的证明技巧．
已知函数$f(x)=10x^2+bx+c$($b,c\in\mathcal Z$)在区间$(1,3)$上有两个不同的零点，求$f(1)\cdot f(3)$的最大值．
