每日一题[512]下界争霸战

原题是证明$x^2{\rm e}^x-\ln x>1$,但这样太无趣了,不如改成:

估计函数$f(x)=x^2{\rm e}^x-\ln x$的下界.


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公布答案    首先利用mma计算其最小值的近似值:

QQ20160415-0

下面从计算量和误差两个方面对各个方案进行评价.

No.4    $x=0$处对${\rm e}^x$进行切线放缩.

由于${\rm e}^x>x+1$,于是$$f(x)>g(x)=x^2(x+1)-\ln x,$$而$g(x)$的导函数$$g'(x)=\dfrac{3x^3+2x^2-1}{x},$$因此可以解得极小值点$$x_0=\dfrac 19\left[-2+\left(\dfrac{227}2-\dfrac{9\sqrt{633}}2\right)^{1/3}+\left(\dfrac{227}2+\dfrac{9\sqrt{633}}2\right)^{1/3}\right],$$于是可得$g(x)$的最小值为$$g(x_0)> 1.0646.$$这样就得到了$f(x)$的下界$1.0646$.

不满意度:12(算成这样还拿出来...)

计算量(8):解一个三次方程(5),计算一个复杂对数值(3);误差(4).


No.3    $x=1$处对${\rm e}^x$进行切线放缩.

由于${\rm e}^x>{\rm e}x$,于是$$f(x)>g(x)={\rm e}\cdot x^3-\ln x,$$而$g(x)$的导函数$$g'(x)=\dfrac{3{\rm e}x^3-1}{x},$$因此可以解得极小值点$$x_0=\left(\dfrac{1}{3{\rm e}}\right)^{1/3},$$于是可得$g(x)$的最小值为$$g(x_0)=\dfrac{\ln 3+2}3>1.0328.$$这样就得到了$f(x)$的下界$1.0328$.

不满意度:8(节省了计算量,降低了精度)

计算量(1):计算一个简单对数值(1);误差(7).


No.2  $x=\dfrac 12$处进行双切线放缩.

由于$${\rm e}^x\geqslant \sqrt{\rm e}x+\dfrac{\sqrt{\rm e}}2,$$且$$\ln x\leqslant 2x-1-\ln 2,$$于是$$f(x)\geqslant g(x)=\sqrt{\rm e}x^3+\dfrac{\sqrt{\rm e}}2x^2-2x+1+\ln 2,$$其在$x>0$时的极小值点为$$x_0=\dfrac{-1+\left(24+\sqrt{\rm e}\right)^{1/2}}6,$$因此可得$g(x)$在$x>0$时的最小值为$$g(x_0)>1.1050.$$这样就得到了$f(x)$的下界$1.1050$.

不满意度:6(提高了精度,牺牲了计算量)

计算量(6):计算一个复杂根式(3),计算一个复杂多项式(2),计算一个简单对数值(1);误差(0).


No.1   $x=0$处对${\rm e}^x$进行二次逼近.

由于${\rm e}^x>1+x+\dfrac {x^2}2$,于是$$f(x)>g(x)=x^2\left(1+x+\dfrac{x^2}{2}\right)-\ln x,$$对$g(x)$求导得$$g'(x)=\dfrac{2x^4+3x^3+x^2-1}x=\dfrac {(x+1)(x^2+x+1)(2x-1)}{x},$$于是$g(x)$的极小值点为$x_0=\dfrac 12$,因此可得$g(x)$的极小值为$$g\left(\dfrac 12\right)=\dfrac{13}{32}+\ln 2>1.0994.$$这样就得到了$f(x)$的下界$1.0994$.

不满意度:3(计算量精度两不误)

计算量(2):对一个四次方程进行试根(1),计算一个简单对数值(1);误差(1).

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每日一题[512]下界争霸战》有2条回应

  1. Echo说:

    mma是否是Mathematica软件?

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