双曲线$x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1(b>0) $的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，直线$l$过$F_2$且与双曲线交于$A,B$两点．
(1) 若$l$的倾斜角为$\dfrac{\pi}{2} $，$\triangle{F_1AB}$是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
(2) 设$b=\sqrt{3} $，若$l$的斜率存在，且$\left(\overrightarrow{F_1A}+\overrightarrow{F_1B} \right)\cdot\overrightarrow{AB}=0 $，求$l$的斜率．
设$f(x),g(x),h(x)$是定义域为$\mathcal{R} $的三个函数，对于命题：
① 若$f(x)+g(x),f(x)+h(x),g(x)+h(x)$均为增函数，则$f(x),g(x),h(x)$中至少有一个为增函数；
② 若$f(x)+g(x),f(x)+h(x),g(x)+h(x)$均是以$T$为周期的函数，则$f(x),g(x),h(x)$均是以$T$为周期的函数，
下列判断正确的是（ ）
A．① 和 ② 均为真命题
B．① 和 ② 均为假命题
C．① 为真命题，② 为假命题
D．① 为假命题，② 为真命题
已知无穷等比数列$\left\{a_n\right\} $的公比为$q$，前$n$项和为$S_n$，且$\lim\limits_{n\to\infty}S_n=S$．下列条件中，使得$2S_n<S \left(n\in \mathbf{N}^{*} \right) $恒成立的是（ ）
A.$a_1>0,0.6<q<0.7$
B.$a_1<0,-0.7<q<-0.6$
C.$a_1>0,0.7<q<0.8$
D.$a_1<0,-0.8<q<-0.7$
理科第12题（选择压轴题）：
定义“规范$01$数列”$\{a_n\}$如下：$\{a_n\}$共有$2m$项，其中$m$项为$0$，$m$项为$1$，且对任意$k\leqslant 2m$，$a_1,a_2,\cdots,a_k$中$0$的个数不少于$1$的个数．若$m=4$，则不同的“规范$01$数列”共有 （ ）
A．$18$个
B．$16$个
C．$14$个
D．$12$个 继续阅读
如图，在平面直角坐标系$Oxy$中，$O$为正八边形$A_1A_2\cdots A_8$的中心，$A_1(1,0)$．任取不同的两点$A_i,A_j$，点$P$满足$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OA_i}+\overrightarrow{OA_j}=\overrightarrow{0} $，则点$P$落在第一象限的概率是_______．
已知数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$满足$a_1=1$，$b_1=2$，$a_{n+1}b_n=a_nb_n+2a_n+4$．
（1）若$b_n=2a_n$，求证：当$n\geqslant 2$时，$n+2\leqslant a_n\leqslant \dfrac 32n+1$；
（2）若$a_nb_{n+1}=a_nb_n+2b_n+4$，求证：$a_n<10$．
设数列$A:a_1,a_2,\cdots,a_N \left(N \geqslant 2\right) $．如果对小于$n \left(2 \leqslant n \leqslant N\right) $的每个正整数$k$都有$a_k<a_n$，则称$n$是数列$A$的一个“$G$时刻”．记$G(A)$是数列$A$的所有“$G$时刻”组成的集合．
(1)对数列$A:-2,2,-1,1,3$，写出$G(A)$的所有元素；
(2)证明：若数列$A$中存在$a_n$使得$a_n>a_1$，则$G(A)\ne \varnothing $；
(3)证明：若数列$A$满足$a_n-a_{n-1}\leqslant 1\left(n=2,3,\cdots,N\right) $，则$G(A)$的元素个数不小于$a_N-a_1$．
平面直角坐标系$xOy$中，椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的离心率是$\dfrac{\sqrt 3}{2}$，抛物线$E:x^2=2y$的焦点$F$是$C$的一个顶点．
(1) 求椭圆$C$的方程；
(2) 设$P$是$E$上的动点，且位于第一象限，$E$在点$P$处的切线$l$与$C$交于不同的两点$A,B$，线段$AB$的中点为$D$，直线$OD$与过$P$且垂直于$x$轴的直线交于点$M$．
(i) 求证：点$M$在定直线上；
(ii) 直线$l$与$y$轴交于点$G$，记$\triangle PFG$的面积为$S_1$，$\triangle PDM$的面积为$S_1$，求$\dfrac{S_1}{S_2}$的最大值及取得最大值时点$P$的坐标．
已知$f(x)=a(x-\ln x)+\dfrac{2x-1}{x^2}$，$a\in\mathcal R$．
(1) 讨论$f(x)$的单调性；
(2) 当$a=1$时，证明：$f(x)>f'(x)+\dfrac 32$对于任意的$x\in [1,2]$成立．
