解析几何中有一类问题是：求点$M(a,b)$关于直线$l:Ax+By+C=0$的对称点$N$．这类问题的常规思路是：通过$MN\perp l$且$MN$的中点在直线$l$上两个条件求解，计算量较大．当直线$l$的斜率为$\pm 1$时，坐标可以直接心算得到，结论如下： 继续阅读
我们知道，当$x\in \left(0,\dfrac{\pi}{2} \right) $时，$0<\sin x<x$而$\tan x>x>0$，那么$\sin x\cdot \tan x$和$x^2$的大小关系究竟如何呢？
“每日一题[428] 谁是赢家”这篇文章给出了上述问题的解答．
类似的，我们知道，当$x>0$时，$\mathrm{e} ^x-1>x>0$而$0<\ln (1+x)<x$，那么$\left( \mathrm{e}^x-1\right)\cdot \ln (1+x)$与$x^2 $之间的大小关系如何呢？$\mathrm{e} ^x-1$与$\ln (1+x)$究竟谁主沉浮？请看下题：
已知$x>0$，求证：$\left( \mathrm{e}^x-1\right)\cdot \ln (1+x)>x^2 $．
设$a$为实数，若函数$y=\dfrac 1x$的图象上存在三个不同的点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$满足$$x_1+y_2=x_2+y_3=x_3+y_1=a,$$则$a$的值为_______．
已知数列$\{a_n\}$中，$a_n>1$，$a_1=2$，$a_{n+1}^2-a_{n+1}-a_n^2+1=0$．
（1）求证：$\dfrac{n+7}4\leqslant a_n<a_{n+1}\leqslant n+2$；
（2）求证：$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{2a_k^2-3}<1$．
已知数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}$($n\in\mathcal N^*$)，求$\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{a_n}{\sqrt n}$．
(2006年罗马尼亚国家集训队试题)设$x,y,z>0$且$x+y+z=3$，求证：$x^2+y^2+z^2\leqslant \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}$．
设$x>1$，$f(x)=x\ln x$，$g(x)=x{\rm e}^{-x}$，$h(x)=\min\{f(x),g(x)\}$．记$p(x)=f(x)-g(x)$的零点为$x_0$且$h(x_1)=h(x_2)$，比较$2x_0$与$x_1+x_2$的大小．
1、已知$f(x)=|x+1|+|x+2|+\cdots +|x+2016|+|x-1|+|x-2|+\cdots +|x-2016|$($x\in\mathcal R$)，且集合$M=\{a|f(a^2-a-2)=f(a+1)\}$，则集合$N=\{f(a)|a\in M\}$的元素个数为_______． 继续阅读
对任意的实数$m,n$，当$0<n<m<\dfrac 1a$时，恒有$\dfrac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[n]{m}}>\dfrac{n^a}{m^a}$成立，则实数$a$的最小值为_______．
