每日一题[529]数列的界估计

已知数列$\{a_n\}$中,$a_n>1$,$a_1=2$,$a_{n+1}^2-a_{n+1}-a_n^2+1=0$.

(1)求证:$\dfrac{n+7}4\leqslant a_n<a_{n+1}\leqslant n+2$;

(2)求证:$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{2a_k^2-3}<1$.


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分析    观察第(1)小题,可知该不等式的本质就是对数列$\{a_n\}$增长速度$a_{n+1}-a_n$的估计,因此考虑研究数列的差分.

证明    (1)根据题意,有$$a_{n+1}=\dfrac{1+\sqrt{1-4(1-a_n^2)}}{2}=\dfrac 12+\sqrt{a_n^2-\dfrac 34},$$由于当$a_n>1$时,有$a_n^2-\dfrac 34>\left(a_n-\dfrac 12\right)^2$,于是$a_{n+1}>a_n$,也即$\{a_n\}$单调递增.

考虑$$a_{n+1}-a_n=\dfrac 12+\sqrt{a_n^2-\dfrac 34}-a_n=\dfrac 12-\dfrac 34\cdot \dfrac{1}{\sqrt{a_n^2-\dfrac 34}+a_n},$$于是$$\dfrac 27<a_2-a_1\leqslant a_{n+1}-a_n<\dfrac 12,$$进而可得$$\dfrac{2n+12}7\leqslant a_n<a_{n+1}\leqslant \dfrac{n+4}2,$$这实际上是一个比题中不等式更强的不等式,因此命题得证.

(2)利用(1)左边的不等式,可得$$(2a_{n+1}^2-3)-(2a_n^2-3)=2a_{n+1}-2>\dfrac {n+4}2,$$因此当$n\geqslant 2$时,有$$2a_n^2-3>5+\dfrac 52+\dfrac 62+\cdots +\dfrac{n+3}2=\dfrac 14(n^2+7n+12),$$因此$$\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2a_k^2-3}\leqslant \sum_{k=1}^n\dfrac{4}{(k+3)(k+4)}=\sum_{k=1}^n\left(\dfrac 4{k+3}-\dfrac 4{k+4}\right)<1,$$原命题得证.

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