已知函数$f(x)=\begin{cases} \ln x,&x\geqslant 1,\\ 1-\dfrac x2,&x<1,\end{cases} $若$F(x)=f(f(x)+1)+m$有两个零点$x_1,x_2$，则$x_1+x_2$的取值范围是______．
用$6$种不同的颜色对正四棱锥$P-ABCD$的$8$条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有________ .
1．已知点$P$是椭圆$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{8}=1$上的一个动点，$F_1,F_2,O$分别为椭圆的左焦点、右焦点和中心，过$F_1$作$\angle F_1PF_2$的角平分线的垂线，垂足为$M$，则$OM$的取值范围是_______．
已知$f(x)=\ln x-x^2+x$．
(1) 求函数$f(x)$的单调区间；
(2) 证明：当$a\geqslant 2$时，关于$x$的不等式$f(x)<\left(\dfrac a2-1\right)x^2+ax-1$恒成立；
(3) 若正实数$x_1,x_2$满足$$f(x_1)+f(x_2)+2\left(x_1^2+x_2^2\right)+x_1x_2=0,$$证明：$x_1+x_2>\dfrac{\sqrt 5-1}2$．
在锐角$\triangle ABC$中，角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，若$\dfrac{b^2}{ac}\geqslant \dfrac{\cos^2B}{\cos A\cdot\cos C}$，则$B$的取值范围是____．
设$a_n=n(n+1)\cdot 2^n$，$n\in\mathbb N^*$．
(1) 求证：$\dfrac{3}{a_1}+\dfrac{4}{a_2}+\cdots +\dfrac{n+2}{a_n}<1$；
(2) 求证：$\dfrac{4}{a_1}+\dfrac{5}{a_2}+\cdots +\dfrac{n+3}{a_n}<\dfrac 43$．
已知$A,B$为双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($b>a>0$)上的两点，且以线段$AB$为直径的圆通过坐标原点$O$，则$\triangle AOB$面积的最小值为________．
已知$x\in \left(0,\dfrac{\pi}2\right)$．
(1) 求证：$\sin x+\tan x>2x$；
(2) 求证：$2\sin x+\tan x>3x$．
已知直线$y=\dfrac{2\sqrt 5}5x$与双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)交于$A,B$两点，若在双曲线上存在点$P$，使得$|PA|=|PB|=\dfrac{\sqrt 3}2|AB|$，则双曲线的离心率$e$为______．
设函数$f(x)=x^2$($0\leqslant x\leqslant 1$)，记$H(a,b)$为函数$f(x)$的图象上的点到直线$y=ax+b$的距离的最大值，则$H(a,b)$的最小值是________．
