已知$x>2y>0$，$\dfrac x2+\dfrac 1y+\dfrac 8{x-2y}=10$，求$x$的最大值．
已知数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$满足$a_1=2$，$b_n=\dfrac{2(a_n+2)}{a_{n+1}-a_n}$．
(1)若$b_n=4a_n$，求证：$a_n\geqslant \dfrac{n+2}2$；
(2)若$(b_{n+1}-b_n)a_n=2(b_n+2)$且$b_1=3$，求证：$a_n<18$．
如图，两个正三角形$ABC,A_1B_1C_1$组成“六芒星”，$O$为“六芒星”的中心，$P$为“六芒星”图案上一点(边界上)，且$\overrightarrow {OP}=x\overrightarrow {OD}+y\overrightarrow {OC_1}$，则$x+y$的取值范围是________．
继续阅读
已知$a,b\in\mathbb R$，若函数$f(x)=|a\sin x+b\cos x-1|+|b\sin x-a\cos x|$的最大值为$11$，则$a^2+b^2$的值是______．
已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{32}=1$，$F_1,F_2$是$E$的左、右焦点，$AB$是过$F_1$的焦点弦，且$\triangle AF_2B$的面积为$32$，求$|AB|$．
已知关于$x$的方程$x^3-3x+4=0$的三个根分别为$a,b,c$，求$(a-b)(b-c)(c-a)$的值．
是否存在正整数$a$，使得${\rm e}^x-ax\geqslant x^2\ln x$对一切$x>0$恒成立？若存在，求出$a$的最大值；若不存在，请说明理由．
已知函数$f(x)={\rm e}^x\left(2-{\rm e}^x\right)+(a+2)\left|{\rm e}^x-1\right|-a^2$的零点个数为$3$，则实数$a$的取值范围是________．
设$F_1,F_2$为双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)的左、右焦点，双曲线$C$与圆$x^2+y^2=r^2$的一个交点为$P$，若$\dfrac{|PF_1|+|PF_2|}{r}$的最大值为$4\sqrt 2$，则双曲线的离心率$e$为________．
已知函数$f(x)=2x|x|$，若对任意的$x\geqslant 1$，$f(x-m)-mf(x)<0$恒成立，则实数$m$的取值范围是________．
