每日一题[943]集合的基底

已知两个集合$A,B$满足$B\subseteq A$.若对任意$x\in A$,存在$a_i,a_j\in B\ \left(i\ne j\right)$,使得\[x=\lambda_1a_i+\lambda_2a_j\ \left(\lambda_1,\lambda_2\in\{-1,0,1\}\right),\]则称$B$为$A$的一个基集.若$A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$,则其基集$B$的元素个数的最小值是_______.


正确答案是$4$.

分析与解 设集合$A$的基集$B$中含有$m$个元素.

若$m=3$,不妨设$B=\{a,b,c\}$,其中$a>b>c$,则用
$$\lambda_1a_i+\lambda_2a_j\ \left(\lambda_1,\lambda_2\in\{-1,0,1\}\right)$$的方式最多只能表示出集合$A$中\[a+b,b+c,c+a,a-b,b-c,a-c,a,b,c\]这$9$个元素,不合题意.故$m \geqslant 4$.

取$B=\{1,4,6,9\}$,满足题意.

综上所述,$m$的最小值为$4$.

 $B$的取法不唯一,比如$B=\{3,4,5,6\}$也可以.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论