1．已知$P$是双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$上一点，过$P$作$C$的两条渐近线的垂线，垂足分别为$A,B$，则$\overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow {PB}=$_______．
已知棱长为$2$的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的中心为$O$，$P$是正方体表面上一点，且直线$OP$与直线$AB_1$所成的角为$\dfrac{\pi}4$，求$OP$的取值范围．
已知函数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$，$g(x)=3x^2+2ax+b$．若$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，则下列结论正确的是________．
(1)$f(0)\cdot f(1)\leqslant 0$；
(2)$g(0)\cdot g(1)\geqslant 0$；
(3)$a^2-3b$有最小值．
设数列$\{x_n\}$中，$x_1\in (-1,1)$，$x_{n+1}=(-1)^{n+1}\dfrac{3x_n-1}{3-x_n},n\in\mathbb N^*$，若数列$\{x_n\}$的最大值为$x_3$，求$x_1$的取值范围．
已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，$a,b,c\in\mathbb N^*$，函数$f(x)$在$\left(-\dfrac 14,\dfrac 14\right)$上有两个零点，求$a+b+c$的最小值．
(2016年北京市海淀区高三期末考试)已知$f(x)={\rm e}^{-|x|}+\cos \pi x$，给出下列命题：
(1) $f(x)$的最大值为$2$；
(2) $f(x)$在$(-10,10)$内的零点之和为$0$；
(3) $f(x)$的任何一个极大值都大于$1$．
其中，所有正确命题的序号是________．
函数$f(x)=(x-a)^2(x+b){\rm e}^x$，其中$a,b\in\mathbb R$．
(1) 当$a=0$，$b=-3$时，求函数$f(x)$的单调区间；
(2) 当$a=0$时，若$x=0$是$f(x)$的极大值点，求$b$的取值范围；
(3) 若$x=a$是$f(x)$的极大值点，设$x_1,x_2,x_3$是$f(x)$的$3$个极值点．是否存在实数$b$和$x_4$，使得$x_1,x_2,x_3,x_4$的某个排列构成等差数列？若存在，求出所有的$b$和对应的$x_4$；若不存在，请说明理由．
已知存在满足$\alpha,\beta,\alpha+\beta$均为锐角的$\alpha,\beta$使得方程$\sin\dfrac{\alpha}2=k\cos\beta$有解，则$k$的取值范围是______．
1．$f(x),g(x)$定义在$\mathbf R$上，下列说法正确的是( )
A．若$f(f(x))=f(x)$，则$f(x)=x$
B．若$f(f(x))=x$，则$f(x)=x$
C．若$f(g(x))=x$，则$g(f(x))=x$
D．若$f(g(x))=x$，则$g(x_1)=g(x_2)$等价于$x_1=x_2$
已知$a,b,c$分别为$\triangle ABC$的内角$A,B,C$所对的边，$BC$边上的高为$\dfrac 12a$，则$\dfrac cb$的最大值为_______．
