每日一题[937]函数的最值

已知函数$f(x)=\left(x^2+ax-a\right)\cdot{\rm e}^{1-x}$,其中$a\in\mathbb R$.
(1)求函数$f'(x)$的零点个数;
(2)证明:$a\geqslant 0$是函数$f(x)$存在最小值的充分不必要条件.


cover分析与解 (1) 函数$f(x)$的导函数\[f'(x)=-(x-2)(x+a)\cdot {\rm e}^{1-x},\]因此当$a\ne -2$时,函数$f'(x)$的零点个数为$2$;当$a=-2$时,函数$f'(x)$的零点个数为$1$.

(2) 情形一 当$a< -2$时,函数$f(x)$在$(-\infty,2)$上单调递减,在$(2,-a)$上单调递增,在$(-a,+\infty)$上单调递减.考虑到$f(2)=(4+a)\cdot {\rm e}^{-1}$,而当$x>-a$时,有\[f(x)=\left[x\left(x+a\right)-a\right]\cdot {\rm e}^{1-x}>0,\]因此当$a\leqslant -4$时,函数$f(x)$存在最小值.(注意,只需要说明$a\leqslant -4$是函数有最小值的充分条件即可,没有论证必要性.)

情形二 当$a=-2$时,函数$f(x)$单调递减,没有最小值.

情形三 当$a>-2$时,函数$f(x)$在$(-\infty,-a)$上单调递减,在$(-a,2)$上单调递增,在$(2,+\infty)$上单调递减.考虑到$f(-a)=-a{\rm e}^{1+a}$,而当$x>2$时,有\[f(x)>\left(4+2a-a\right)\cdot {\rm e}^{1-x}>0,\]因此当$a\geqslant 0$时,函数$f(x)$存在最小值.

综上所述,$a\geqslant 0$是函数$f(x)$存在最小值的充分不必要条件.

 对本题的论述中,只需要证明$a\geqslant 0$时,$f(x)$存在最小值;$a<0$时,能找到一个$a$使得$f(x)$有最小值即可.事实上,$f(x)$有最小值当且仅当$a\in(-\infty,-4]\cup[0,+\infty)$.因为$-4<a<0$时,$f(2)>0$,而$x\to+\infty$时,$f(x)\to 0$且$x>1$时,$f(x)>0$,所以$f(x)$的下确界为$0$且取不到,所以$f(x)$没有最小值.

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