每日一题[938]集合的“相关数”

设集合\[A_{2n}=\{1,2,3,\cdots,2n\}\ \left(n\in \mathbb{N}^{*},n\geqslant 2\right).\]如果对于$A_{2n}$的每一个含有$m\ (m\geqslant 4)$个元素的子集$P$,$P$中必有$4$个元素的和等于$4n+1$,则称正整数$m$为集合$A_{2n}$的一个“相关数”.

(1) 当$n=3$时,判断$5$和$6$是否为集合$A_6$的“相关数”,说明理由;
(2) 若$m$为集合$A_{2n}$的“相关数”,证明:$m-n-3\geqslant 0$;
(3) 给定正整数$n$,求集合$A_{2n}$的“相关数”$m$的最小值.


cover分析与解 (1) 当$n=3$时,$A_6=\{1,2,3,4,5,6\}$,$4n+1=13$.一方面,对于$A_6$的含有$5$个元素的子集$\{2,3,4,5,6\}$,因为$2+3+4+5>13$,所以$5$不是集合$A_6$的“相关数”;另一方面,$A_6$的含有$6$个元素的子集只有$\{1,2,3,4,5,6\}$,因为$1+3+4+5=13$,所以$6$是集合$A_6$的“相关数”.

(2) 考察集合$A_{2n}$的$n+2$元子集$B=\{n-1,n,n+1,\cdots,2n\}$,$B$中任意$4$个元素之和一定不小于\[(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2,\]所以若$m$为集合$A_{2n}$的“相关数”,必有$m-n-3\geqslant 0$.

(3) 由(2)得$m \geqslant n+3$.

先将集合$A_{2n}$的元素分成如下$n$组:
\[C_i=\{i,2n+1-i\},\ i=1,2,\cdots,n.\]对于$A_{2n}$的任意一个$n+3$元子集$P$,一定存在互异的三个正整数$i_1,i_2,i_3\in\{1,2,\cdots,n\}$,使得
\[C_{i_1}\subseteq P,\ C_{i_2}\subseteq P,\ C_{i_3}\subseteq P.\]再将集合$A_{2n}$的元素剔除$n$和$2n$之后,分成如下$n-1$组:
\[D_j=\{j,2n-j\},\ j=1,2,\cdots,n-1.\]对于$A_{2n}$的任意一个$n+3$元子集$P$,一定存在正整数$j_4\in\{1,2,\cdots,n-1\}$,使得
\[D_{j_4}\subseteq P,\]而且$D_{j_4}$与$C_{i_1},C_{i_2},C_{i_3}$中至少一组无公共元素,不妨设$D_{j_4}$与$C_{i_1}$无公共元素,
此时,\[i_1+\left(2n+1-i_1\right)+j_4+\left(2n-j_4\right)=4n+1.\]所以集合$A_{2n}$的“相关数”$m$的最小值为$n+3$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论