每日一题[944]必要条件探路

已知函数$f(x)=\mathrm{e}^x+x^2-x$,$g(x)=x^2+ax+b$,其中$a,b$均为实数.
(1) 当$a=1$时,求函数$F(x)=f(x)-g(x)$的单调区间;
(2) 若曲线$y=f(x)$在点$(0,1)$处的切线$l$与曲线$y=g(x)$切于点$(1,c)$,求$a,b,c$的值;
(3) 若$f(x)\geqslant g(x)$恒成立,求$a+b$的最大值.


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分析与解 (1) 当$a=1$时,函数$$F(x)=f(x)-g(x)={\rm e}^x-2x-b,$$求导得$F'(x)={\rm e}^x-2$,所以$F(x)$在$(-\infty,\ln 2)$上单调递减,在$(\ln 2,+\infty)$上单调递增.

(2) 因为$$f'(x)={\rm e}^x+2x-1,g'(x)=2x+a,$$所以由题意知$$\begin{cases} g(1)=c=1+a+b,\\f'(0)=0=g'(1)=2+a=\dfrac {c-1}{1-0}=c-1,\end{cases} $$解得$(a,b,c)=(-2,2,1)$.

(3)因为$$f(x)-g(x)={\rm e}^x-(a+1)x-b\geqslant 0,$$先探索必要条件,令$x=1$得$a+b \leqslant \mathrm{e}-1$.

如果$a+b$可以取到${\rm e}-1$,那么它就是所求最大值,尝试构造:

若取$(a,b)=(\mathrm{e}-1,0)$,则\[f(x)-g(x)=\mathrm{e}^x-\mathrm{e}x\geqslant 0\]恒成立.

综上所述,$a+b$的最大值为$\mathrm{e}-1$.

 (3)常规做法:因为$$f(x)-g(x)={\rm e}^x-(a+1)x-b\geqslant 0$$恒成立,所以$$a+b\leqslant {\rm e}^x-(a+1)x+a$$恒成立,令$h(x)={\rm e}^x-(a+1)x+a$,求$h(x)$有最小值,求导得$$h'(x)={\rm e}^x-(a+1),$$当$a+1<0$时,$x\to-\infty$时,有$h(x)\to-\infty$,$a+b$不可能取到最大值;
当$a=-1$时,$x\to-\infty$时,$h(x)\to -1$;
当$a>-1$时,$h(x)$的最小值为$$h(\ln(a+1))=2a+1-(a+1)\ln(a+1),$$下面求关于$a$的函数$$m(a)=2a+1-(a+1)\ln(a+1)$$的最大值即可,求导得$$m'(a)=1-\ln(a+1),$$所以$m(a)$的最大值为$$m({\rm e}-1)={\rm e}-1>-1,$$综上知$a+b$的最大值为${\rm e}-1$.此时$a={\rm e}-1$,$b=0$.

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