每日一题[936]直线与抛物线

在平面直角坐标$xOy$中,抛物线$C$的顶点是原点,以$x$轴为对称轴,且经过点$P(1,2)$.
(1) 求抛物线$C$的方程;
(2) 设点$A,B$在抛物线$C$上,直线$PA,PB$分别与$y$轴交于点$M,N$,$|PM|=|PN|$,求直线$AB$的斜率.


cover分析与解 (1) $y^2=4x$;

(2) 方法一 设$M(0,2+m)$,$N(0,2-m)$,则直线$PM:y=-mx+2+m$,与抛物线的方程联立可得\[my^2+4y-8-4m=0,\]于是点$A$的纵坐标\[y_1=\dfrac 12\cdot \dfrac{-8-4m}{m}=-\dfrac 4m-2;\]同理,点$B$的纵坐标\[y_2=\dfrac 4m-2,\]因此直线$AB$的斜率\[k=\dfrac{4}{y_1+y_2}=-1.\]

方法二 设$A(4a^2,4a)$,$B(4b^2,4b)$,则直线$AB$的斜率\[k=\dfrac{4a-4b}{4a^2-4b^2}=\dfrac{1}{a+b},\]根据截距坐标公式,可得点$M,N$的纵坐标分别为\[y_1=\dfrac{1\cdot 4a-4a^2\cdot 2}{1-4a^2}=\dfrac{4a}{1+2a},y_2=\dfrac{4b}{1+2b},\]根据题意,有\[y_1+y_2=4,\]即\[\dfrac{4a}{1+2a}+\dfrac{4b}{1+2b}=4,\]整理可得\[a+b=-1,\]因此所求直线$AB$的斜率为$-1$.

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