每日一题[945]构造与论证

各项均为非负整数的数列$\left\{a_n\right\}$同时满足下列条件:
①$a_1=m$,其中$m\in \mathbb{N}^{*}$;
②当正整数$n \geqslant 2$时,恒有$a_n \leqslant n-1$;
③对任意正整数$n$,均有$n$是$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$的因数.
(1) 当$m=5$时,写出数列$\left\{a_n\right\}$的前五项;
(2) 若数列$\left\{a_n\right\}$的前三项互不相等,且正整数$n \geqslant 3$时,$a_n$为常数,求$m$的值;
(3) 求证:对任意正整数$m$,都存在正整数$M$,只要正整数$n \geqslant M$,均有$a_n$为常数.


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分析与解 (1) 当$m=5$时,数列$\left\{a_n\right\}$的前五项为$5,1,0,2,2$.

(2) 因为$a_2\leqslant 1$,所以$a_2=0,1$;$a_3\leqslant 2$,所以$a_3=0,1,2$;

而前三项互不相等,所以数列可能为\[\begin{split} &m,\ 0,\ 1,\ 1,\cdots;\\&m,\ 0,\ 2,\ 2,\cdots;\\&m,\ 1,\ 0,\ 0,\cdots;\\&m,\ 1,\ 2,\ 2,\cdots.\end{split}\]

由$S_n$是$n$的倍数知,第三种不可能,求得$m=2,3,4$.

(3) 首先可以证明,对任意$k\in \mathbb N^*$,均有$\dfrac{S_{k+1}}{k+1}<\dfrac{S_k}{k}+1$:

这是因为$$S_{k+1}-S_k=a_{k+1}\leqslant k,$$所以\[\begin{split} \dfrac {S_{k+1}}{k+1}-\dfrac {S_k}k\leqslant &\dfrac {S_k+k}{k+1}-\dfrac {S_k}k\\=&\dfrac {k^2-S_k}{k(k+1)}<1.\end{split} \]又因为$\dfrac {S_k}k$是整数,所以$$\dfrac{S_{k+1}}{k+1}\leqslant \dfrac{S_k}{k},$$从而有\[m=\dfrac{S_1}{1}\geqslant\dfrac{S_2}{2}\geqslant\dfrac{S_3}{3}\geqslant\cdots,\]因此存在正整数$M$,只要正整数$n \geqslant M$,均有\[\dfrac{S_{n}}{n}=\dfrac{S_{n+1}}{n+1}=\dfrac{S_{n+2}}{n+2}=\cdots=t\in\mathbb{N}^{*},\]故\[\begin{align*}S_n&=tn,\\S_{n+1}&=t(n+1),\\S_{n+2}&=t(n+2),\\&\vdots\end{align*}\]进而有\[a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots=t.\]证毕.

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