每日一题[949]转化为距离

已知$O$是$\triangle ABC$的外心,$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$,若$A$是锐角且满足\[3\sqrt{41-40\cos A}+4\sqrt{34-30\sin A}=25,\]则$x+y$的最大值为_______.


cover正确答案是$\dfrac 59$.

分析与解 根据题意,有\[3\sqrt{\left(4\cos A-5\right)^2+(4\sin A)^2}+4\sqrt{\left(3\cos A\right)^2+\left(3\sin A-5\right)^2}=25,\]即\[\sqrt{\left(\cos A-\dfrac 54\right)^2+\sin^2A}+\sqrt{\cos^2A+\left(\sin A-\dfrac 53\right)^2}=\dfrac{25}{12},\]上式左边的几何意义是单位圆在第一象限的部分上的一点$P\left(\cos A,\sin A\right)$到点$M\left(\dfrac 54,0\right)$和点$N\left(0,\dfrac 53\right)$的距离之和.注意到$MN=\dfrac{25}{12}$且线段$MN$与单位圆相切于点$\left(\dfrac 45,\dfrac 35\right)$,因此$P$就是切点所在的位置.这样就得到了$\cos A=\dfrac 45$.另一方面,不妨设$\triangle ABC$的外接圆半径为$1$,直线$AO$与边$BC$交于点$D$,那么根据向量线性分解的系数和的几何意义,有\[x+y=\dfrac{OA}{AD}=\dfrac{OA}{OA+OD}\leqslant \dfrac{OA}{OA+d(O,BC)}=\dfrac{1}{1+\cos A}=\dfrac 59,\]因此$x+y$的最大值为$\dfrac 59$.

 向量分解的等系数和线的相关知识见每日一题[926]

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

每日一题[949]转化为距离》有 1 条评论

  1. zxrzxrzxr zxrzxrzxr说:

    这个题还可以让OA乘AB,得到1/2AB^2= ………消去AB。同理消掉一个AC。不妨设AB=a,AC=b,则得到以下两个式子:(x-1/2)a+4/5yb=0•••••(1)
    (y-1/2)b+4/5xa=0•••••(2)
    令(1)x(2)
    得到 (x-1/2)(y-1/2)=16/25xy
    利用均值不等式,得x+y的最大值为5/9
    但这个做法跟答案比起来比较麻烦23333

发表评论