已知$P(x_0,y_0)$是二次曲线（仅考虑：圆、椭圆、双曲线、抛物线）$$\Gamma:Ax^2+By^2+Dx+Ey+F=0$$上一点，且$A+B\ne 0$，过$P$作互相垂直的直线分别交$\Gamma$于另外两个点$A,B$，求证：直线$AB$过定点．
如图，已知正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱长为$1$，$E,F$分别是棱$AD,B_1C_1$上的动点，设$AE=x$，$B_1F=y$．若棱$DD_1$与平面$BEF$有公共点，则$x+y$的取值范围是________．
已知正实数$x,y$满足$x^3+2y^3=x-y$，求使$x^2+ky^2\leqslant 1$恒成立的$k$的最大值．
已知$\triangle ABC$是等轴双曲线$H$上的内接三角形，$P,Q,R$分别是边$CA,AB,BC$上的中点，求证：$\triangle PQR$的外接圆恒过定点．
已知正整数数列$\{a_n\}$满足$\forall n\in\mathbb N^*$，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$，且$a_k=2017$，求$k$的最大值．
设函数$f(x)=ax^2+bx+c$($a>b>c$)的图象经过点$A(m_1,f(m_1))$，$B(m_2,f(m_2))$，$f(1)=0$．若$a^2+(f(m_1)+f(m_2))a+f(m_1)\cdot f(m_2)=0$，则( )
A．$b\geqslant 0$
B．$b<0$
C．$3a+c\leqslant 0$
D．$3a-c<0$
已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)，点$P(x_0,y_0)$是椭圆$E$内部一点，过$P$作直线$l$与椭圆$E$交于$A,B$两点，设椭圆$E$在$A,B$处的切线交于点$Q$，求$Q$点的轨迹方程，并求$\triangle QAB$面积的最小值．
已知$\overrightarrow m,\overrightarrow n$是两个非零向量，且$|\overrightarrow m|=2$，$|\overrightarrow m+2\overrightarrow n|=2$，则$|2\overrightarrow m+\overrightarrow n|+|\overrightarrow n|$的最大值是_______．
(1) 求函数$f(x)=x\ln x-(1-x)\ln (1-x)$在$0<x\leqslant \dfrac 12$上的最大值；
(2) 已知$0<x<1$，求证：$x^{1-x}+(1-x)^x\leqslant \sqrt 2$．
已知直线$l:x=t$与椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)相交于$A,B$两点，$M$是椭圆$C$上一点，设直线$MA,MB$分别与$x$轴交于$E,F$两点，$O$为坐标原点，求证：$|OE|\cdot |OF|$为定值．
