每日一题[946]新定义关系

据统计某超市两种蔬菜$A,B$连续$n$天价格分别为$a_1,a_2,\cdots,a_n$和$b_1,b_2,\cdots,b_n$,令$$M=\left\{m\left|\ a_m<b_m,\ m=1,2,\cdots,n\right.\right\},$$若$M$中元素个数大于$\dfrac{3}{4}n$,则称蔬菜$A$在这$n$天的价格低于蔬菜$B$的价格,记作$A\prec B$.现有三种蔬菜$A,B,C$,下列说法正确的是(  )
A.若$A\prec B,B\prec C$,则$A\prec C$
B.若$A\prec B,B\prec C$同时不成立,则$A\prec C$不成立
C.$A\prec B,B\prec A$可同时不成立
D.$A\prec B,B\prec A$可同时成立


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正确答案是C.

分析与解 设$n=8$.

对于选项A,取\[\begin{align*}\left(a_1,a_2,\cdots,a_n\right)&=(5,5,5,5,5,5,5,5),\\\left(b_1,b_2,\cdots,b_n\right)&=(6,6,6,6,6,6,6,3),\\\left(c_1,c_2,\cdots,c_n\right)&=(7,7,7,7,7,7,4,4),
\end{align*}\]可知A选项错误.

对于选项B,取\[\begin{align*}\left(a_1,a_2,\cdots,a_n\right)&=(5,5,5,5,5,5,5,5),\\\left(b_1,b_2,\cdots,b_n\right)&=(4,4,4,4,7,7,7,7),\\\left(c_1,c_2,\cdots,c_n\right)&=(6,6,6,6,6,6,6,6),\end{align*}\]可知B选项错误.

对于选项C,取\[\begin{align*}\left(a_1,a_2,\cdots,a_n\right)&=(5,5,5,5,5,5,5,5),\\\left(b_1,b_2,\cdots,b_n\right)&=(4,4,4,4,7,7,7,7),\end{align*}\]可知C选项正确.

对于选项D,显然错误.

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