每日一题[952]相对运动

棱长为$2$的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$在空间直角坐标系$O-xyz$中运动,其中顶点$A$保持在$z$轴上,顶点$B_1$保持在平面$xOy$上,则$OC$长度的最小值是_____.


cover正确答案是$\sqrt 6-\sqrt 2$.

分析与解 考虑让正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$静止,坐标系运动.由于$OA\perp OB_1$,于是$O$点在以$AB_1$为直径的球面上运动.设该球面的球心为$M$,则其半径$$r=MA=\dfrac 12AB_1=\sqrt 2,$$而$MC=\sqrt 6$,因此$OC$长度的最小值为\[|MC-r|=\sqrt 6-\sqrt 2.\]

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