已知实数$a,b>0$，$f(x)=ax^2+b$满足对于任意$x,y\in\mathbb R$，$$f(xy)+f(x+y)\geqslant f(x)\cdot f(y),$$求实数$a,b$需要满足的条件．
正确答案是$0<a<1$，$0<b\leqslant 1$且$2a+b\leqslant 2$．
分析与解 必要性
题中条件即\[\forall x,y\in\mathbb R,\left(a-a^2\right)x^2y^2+a(x+y)^2-ab\left(x^2+y^2\right)+2b-b^2\geqslant 0.\]令$y=0$，可得\[\forall x\in\mathbb R,a(1-b)x^2+2b-b^2\geqslant 0,\]从而$a(1-b)\geqslant 0$，因此$b\in (0,1]$．
令$y=-x$，可得\[\forall x\in\mathbb R,\left(a-a^2\right)x^4-2abx^2+2b-b^2\geqslant 0,\]从而$a\in (0,1)$．
考虑到\[\left(a-a^2\right)x^4-2abx^2+2b-b^2=\left(a-a^2\right)\left(x^2-\dfrac{b}{1-a}\right)^2+\dfrac{b(2-2a-b)}{1-a},\]因此令$x=\sqrt{\dfrac{b}{1-a}}$，可得$2a+b\leqslant 2$．
充分性
当$0<a<1$，$0<b\leqslant 1$且$2a+b\leqslant 2$时，有\[\begin{split}
f(xy)+f(x+y)-f(x)\cdot f(y)&=\left(a-a^2\right)x^2y^2+a(x+y)^2-ab\left(x^2+y^2\right)+2b-b^2\\&\geqslant \left(a-a^2\right)x^2y^2-ab\cdot (-2xy)+2b-b^2\\&=\left(a-a^2\right)\left(xy+\dfrac{b}{1-a}\right)^2+\dfrac{b(2-2a-b)}{1-a}\\&\geqslant 0,\end{split}\]符合题意．
综上所述，实数$a,b$需要满足的条件是$0<a<1$，$0<b\leqslant 1$且$2a+b\leqslant 2$．