已知椭圆$\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$，过椭圆左顶点$A\left( -a,0 \right)$的直线$l$与椭圆交于$Q$，与$y$轴交于$R$，过原点与$l$平行的直线与椭圆交于$P$．求证：$AQ$，$\sqrt{2}OP$，$AR$成等比数列．
有编号为①，②的$2$个红球，编号为③，④的$2$个黑球，编号为⑤，⑥，⑦的$3$个白球．将这$7$个球放入编号为$A,B,C,D,E$的$5$个盒中，要求每个盒中放$1$个或$2$个球，而且同色球不能放入同一盒中，则不同的放置方式共有______种．
设$a_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac 1k-\ln n$．
(1) 求证：$\displaystyle \lim_{n\to +\infty}a_n$存在；
(2) 记$\displaystyle \lim_{n\to +\infty}a_n=C$，讨论级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n-C\right)$的敛散性．
已知$f(x)=x{\rm e}^x+ax^2-x$，当$x\geqslant 0$时，$f'(x)-f(x)\geqslant (4a+1)x$恒成立，求实数$a$的取值范围．
已知双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>0,b>0$)的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，过$F_1$且垂直于$x$轴的直线与该双曲线的左支交于$A,B$两点，$AF_2,BF_2$分别交$y$轴于$P,Q$两点，若$\triangle PQF_2$的周长为$12$，求$ab$取得最大值时双曲线的离心率$e$．
已知函数$f(x)=\sin(\omega x+\varphi)$，其中$\omega >0$，$|\varphi|<\dfrac{\pi}2$．$x=-\dfrac{\pi}4$是函数$f(x)$的一个零点，$x=\dfrac{\pi}4$是函数$f(x)$的一条对称轴，且$f(x)$在$\left(\dfrac{\pi}{18},\dfrac{5\pi}{36}\right)$上单调，求$\omega$的所有可能的值．
若实数$a,b,c$成等差数列，点$P(-1,0)$在动直线$ax+by+c=0$上的投影为$M$，点$N(3,3)$，求线段$MN$长度的取值范围．
已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)，$A$为椭圆$E$的右顶点，$M,N$是椭圆$E$上不同于$A$的不同两点，且直线$AM$和$AN$的斜率之积为$\lambda $．
(1) 求证：直线$MN$过定点$R$；
(2) 若$\lambda =-\dfrac{b^2}{a^2}$，$P$为椭圆$E$上不同于$M,N$的一点，且$|PM|=|PN|$，求$\triangle MNP$的面积的最小值．
已知$S(n,k)=\displaystyle \sum_{i=1}^n{i^k}$，其中$k,n\in\mathbb N^*$．
(1)求$S(n,1)$，$S(n,2)$，$S(n,3)$；
(2)给出$S(n,k)$关于$k$的一个递推公式．
设数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$($n\in\mathbb N^*$)，$S_n$为数列$\{a_n\}$的前$n$项和．证明：
(1) 当$a_1\in [0,1]$时，$a_n\in [0,1]$；
(2) 当$a_1>1$时，$a_n>(a_1-1)a_1^{n-1}$；
(3) 当$a_1=\dfrac 12$时，$n-\sqrt{\dfrac{2n}3}\leqslant S_n\leqslant n-1+\dfrac 1{2^n}$．
