每日一题[1005]数列的单调性

设$a_1>\dfrac{1}{12}$,且$a_{n+1}=\sqrt{(n+2)a_n+1}$,$n\in\mathbb N^*$.
(1) 求证:$a_n>n-\dfrac 2n$;
(2) 设$b_n=2^n\left(\dfrac{a_n}n-1\right)$,求证:当$\dfrac{1}{12}<a_1<1$时,$b_n<b_{n+1}<0$;当$a_1>1$时,$0<b_{n+1}<b_n$.


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分析与解 (1) 当$n=1$时命题显然成立;

当$n=2$时,有\[a_2=\sqrt{3a_1+1}>\dfrac{\sqrt 5}2>1,\]命题成立;

当$n=3$时,有\[a_3=\sqrt{4a_2+1}>\sqrt {2\sqrt 5+1}>3-\dfrac 23,\]命题成立;

当$n\geqslant 3$时,考虑到\[(n+2)\cdot\left(n-\dfrac 2n\right)+1-\left(n+1-\dfrac{2}{n+1}\right)^2=\dfrac{2(n^3-5n-2)}{n(n+1)^2}>0,\]于是由数学归纳法,原命题得证.

(2) 由数学归纳法容易证明当$\dfrac{1}{12}<a_1<1$时,有$a_n<n$;当$a_1>1$时,有$a_n>n$,这就得到命题中的上下界.下面证明单调性.

考虑\[\dfrac{b_{n+1}}{b_n}=2\cdot \dfrac{\dfrac{a_{n+1}}{n+1}-1}{\dfrac{a_n}n-1},\]因此当$a_1>1$时,不等式$b_{n+1}<b_n$等价于\[\dfrac{a_n}{n}-1>\dfrac{2a_{n+1}}{n+1}-2,\]即\[\dfrac{a_{n+1}^2-1}{(n+2)n}-1>\dfrac{2a_{n+1}}{n+1}-2,\]整理,也即当$n\geqslant 2$时,有\[\left(a_n-n\right)\left(na_n-n^2+2\right)>0,\]根据第$(1)$小题的结果,命题得证.

类似地,当$a_1<1$时,命题也成立.因此原命题得证.

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