每日一题[1002]零点分布

已知关于$x$的方程${\rm e}^{-x}+2=|\ln x|$的两个实数解为$x_1,x_2$($x_1<x_2$),则(  )
A.$0<x_1x_2<{\rm e}^{-1}$
B.$x_1x_2={\rm e}^{-1}$
C.${\rm e}^{-1}<x_1x_2<1$
D.以上答案都不对


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正确答案是C.

分析与解 记函数$f(x)={\rm e}^{-x}+2$与函数$g(x)=|\ln x|$的公共点分别为$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,如图.

根据题意,有\[\begin{aligned}y_1&={\rm e}^{-x_1}+2=-\ln x_1, \\ y_2&={\rm e}^{-x_2}+2=\ln x_2,\end{aligned}\]容易判断$x_1>0$,于是$y_1<3$,从而$2<y_2<y_1<3$,因此\[0<y_1-y_2<1,\]即\[0<-\ln x_1-\ln x_2<1,\]也即${\rm e}^{-1}<x_1x_2<1$.


下面给出一道练习:

已知函数 $f(x)={\log_4}x-\left(\dfrac 14\right)^x$ 和函数 $g(x)={\log_{\frac 14}}x-\left(\dfrac 14\right)^x$ 的零点分别为 $x_1,x_2$,则(  )

A.$0<x_1x_2<1$
B.$x_1x_2=1$
C.$1<x_1x_2<2$
D.$x_1x_2\geqslant 2$

 正确答案是A.

分别作函数 $y={\log_4}x$、$y={\log_{\frac 14}}x$ 与 $y=\left(\dfrac 14\right)^x$ 的图象,得到 $0<x_2<1<x_1$.又因为$${\log_4}x_1-{\log_{\frac 14}}x_2={\log_4}\left(x_1x_2\right)=\left(\dfrac 14\right)^{x_1}-\left(\dfrac 14\right)^{x_2}<0,$$所以 $x_1x_2<1$.

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