在$\triangle ABC$中，$\tan A:\tan B:\tan C = 1:2:3$，求$\dfrac{{AC}}{{AB}}$．
如图，曲线$y = \sqrt x $上的点${P_i}\left( {i = 1, 2, \cdots , n, \cdots } \right)$与$x$轴正半轴上的点${Q_i}$及原点$O$构成一系列正三角形${P_i}{Q_{i-1}}{Q_i}({Q_0} = O)$，记${a_n} = \left| {{Q_n}{Q_{n-1}}} \right|$．
(1)求${a_1}$的值；
(2)求数列$\{ {a_n}\} $的通项公式；
(3)求证：当$n \geqslant 2$时，$$\dfrac{1}{{{a_n}^2}} + \dfrac{1}{{{a_{n + 1}}^2}} + \cdots + \dfrac{1}{{{a_{2n}}^2}} < \dfrac{3}{2}.$$
已知$a,b,c$是$\triangle ABC$的三边长，$S$是$\triangle ABC$的面积，求证：$ab+bc+ca\geqslant 4\sqrt 3S$．
在棱长为$a$的正方体$ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$中，$E$为棱$AB$的中点．
(1)求四面体$E - {B_1}{D_1}C$的体积；
如图，已知$A,B$两点在椭圆$C:\dfrac{{{x^2}}}{m} + {y^2} = 1$（$m > 1$），直线$AB$上两个不同的点$P,Q$满足$\left| {AP} \right|:\left| {PB} \right| = \left| {AQ} \right|:\left| {QB} \right|$，且$P$点的坐标为$\left( {1, 0} \right)$，求点$Q$的轨迹方程．
设$\triangle ABC$的三边$a,b,c$ 上的高分别为$h_a,h_b,h_c$ ，满足$3\cdot\dfrac{a}{{{h_a}}} - \dfrac{b}{{{h_b}}} + 6\cdot\dfrac{c}{{{h_c}}} = 6$．
(1)若$\triangle ABC$的面积为$S$，试证$S = \dfrac{1}{{12}}(3{a^2} - {b^2} + 6{c^2})$；
(2)用$b,c$ 表示$\sin \left( {A + \dfrac{\pi}{4}} \right)$，并求$A$的大小；
(3)根据上述解题过程所得到的$\triangle ABC$结论，请你设计一个与三角形有关的类似结论，并证明你所给的结论．
数列$\left\{ {{a_n}} \right\}$满足条件：${a_1} = 1$，${a_n} = 1 + \dfrac{1}{{{a_{n - 1}}}}$（$n \geqslant 2$）．试证明：
(1)$1 \leqslant {a_n} \leqslant 2$，$n \in {{\mathbb{N}}^ * }$；
(2)$\dfrac{1}{3} \leqslant \dfrac{{\left| {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right|}}{{\left| {{a_n} - {a_{n - 1}}} \right|}} \leqslant \dfrac{1}{2}$，$n \geqslant 2$且$n \in {{\mathbb {N}}^ * }$．
已知等比数列$\{a_n\}$的首项${a_1} = 1025$，公比$q = - \dfrac{1}{2}$，求${\Pi _n} = {a_1}{a_2} \cdots {a_n}$的最大值．
已知$f\left( x \right)$为一元二次函数，且$a,f\left( a \right),f\left( {f\left( a \right)} \right),f\left( {f\left( {f\left( a \right)} \right)} \right)$为正项等比数列，求证：$f\left( a \right) = a$．
对于函数$f(x)$，方程$f(x)=x$的根称为$f(x)$不动点．
(1)证明：若$f\left( {f\left( x \right)} \right)$有唯一不动点，则$f\left( x \right)$也有唯一不动点．
(2)已知函数$f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$（$a \ne 0$），且$f\left( x \right) $没有不动点．那么$f\left( {f\left( x \right)} \right) $是否有不动点？证明你的结论．
