已知$x_1\ln x_1=x_2\ln x_2$，且$x_1<x_2$，若整数$k=\dfrac 52\left(x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}\right)$，求$k$的值．
已知边长为$1$的正三角形的中心为$O$，过$O$的直线与边$AB,AC$分别交于点$M,N$，求$\dfrac{1}{OM^2}+\dfrac{1}{ON^2}$的取值范围．
设函数$f(x)=-x^2+bx+|x-a|$，$a,b\in\mathbb R$，若对任意的实数$a$，关于$x$的方程$f(x)=a+1$至多有两个不同的解，求实数$b$的取值范围．
已知$A$是椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的右顶点，过$A$作互相垂直的两条直线$AP$和$AQ$分别交椭圆于$P,Q$．
(1) 求证：直线$PQ$过定点$R$，并求出定点$R$的坐标；
(2) 求$\triangle APQ$面积的最大值．
已知$A$是椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的右顶点，弦$PQ$(不过点$A$)的斜率为定值$k$，求证：$\triangle APQ$的外接圆恒过不同于点$A$的另一点$B$，并求出$B$点坐标．
已知$P$是定直线$y=n$($n<0$)上的一点，过$P$作抛物线$C:x^2=2py$($p>0$)的两条切线，设切点分别为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$．
(1) 求证：$x_1x_2+y_1y_2$是定值；
(2) 设$\triangle PAB$的外接圆圆心为$M$，抛物线$C$的焦点为$F$，求证：$FM\perp FP$．
已知函数$f(x)=\begin{cases}(2-[x])\cdot |x-1|,& x\in[0,2),\\1,&x=2,\end{cases}$其中$[x]$表示不超过$x$的最大整数．设$n\in\mathbb N^*$，$f_1(x)=f(x)$，$f_{n+1}(x)=f(f_n(x))$，有以下说法：
(1) 函数$y=\sqrt{x-f(x)}$的定义域为$\left[\dfrac 23,2\right]$；
(2) 设集合$A=\{0,1,2\}$，$B=\{x \mid f_3(x)=x,x\in A\}$，则$A=B$；
(3) $f_{2016}\left(\dfrac 89\right)+f_{2017}\left(\dfrac 89\right)=\dfrac{13}9$；
(4) 若集合$M=\{x \mid f_{12}(x)=x,x\in [0,2]\}$，则$M$中至少包含$8$个元素．
指出上述说法中哪些是正确的，并说明理由．
已知函数$f(x)=|ax^2+bx+c|$满足$f(2),f(0),f(-2)\leqslant 2$，求$f(x)$在区间$[-2,2]$上的最大值．
数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$na_{n+1}=(n+2)a_n+n$，$b_n=\dfrac{a_n}{n(n+1)}$．
(1) 求$b_n$和$a_n$；
(2) 求证：$\dfrac n2\leqslant \dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\cdots+\dfrac{1}{a_{n+1}}+b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2\leqslant \dfrac{2n^2-4n+4\sqrt n-1}{2n}$．
